Antiprisma

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Conjunt d'antiprismes uniformes
Antiprisma hexagonal
Tipus Poliedre uniforme
Cares 2 p-gons, 2p triangles
Arestes 4p
Vèrtex 2p
Configuració del vèrtex 3.3.3.p
Símbol Schläfli s{2,p}
Diagrama Coxeter-Dynkin foratpforat2forat
Grup de simetria Dpd
Poliedre dual trapezoedre
Propietats convex, semi-regular vèrtex-transitiu
Net Desenvolupament de l'antiprisma

Un antiprisma és un políedre que es caracteritza per tenir dues cares iguals paral·leles, però a diferència del prisma, estan unides per mitjà de triangles.

En el cas dels antiprismes de directrius regulars, les dues cares directrius són polígons regulars i tots els triangles circumdants són equilàters, el que fa que el cos siga d'arestes regulars (totes iguals). En general les cares paral·leles d'un antiprisma de directrius regulars estan girades l'una de l'altra en un angle β:

β = 360° / 2n

on n és el nombre de costats del polígon regular.

Antiprisma uniforme[modifica | modifica el codi]

Un antiprisma uniforme té, a part de les cares de les bases, 2n triangles equilàters com a cares. Com a classe, els antiprismes uniformes formen una sèrie infinita de políedres vèrtex-uniformes, igual que els prismes uniformes. Per a n = 2 tenim el cas degenerat del tetràedre com a antiprisma digonal, i per a n = 3 l'octàedre regular no-degenerat com a antiprisma triangular.

Els políedres duals dels antiprismes són els trapezòedres. Johannes Kepler fou el primer en duscutir la seva existència i en atribuir-los el nom.

Família d'antiprismes uniformes n.3.3.3
Digonal antiprism.png Trigonal antiprism.png Square antiprism.png Pentagonal antiprism.png Hexagonal antiprism.png Antiprism 7.png Octagonal antiprism.png Enneagonal antiprism.png Decagonal antiprism.png Hendecagonal antiprism.png Dodecagonal antiprism.png
Spherical digonal antiprism.png Spherical trigonal antiprism.png Spherical square antiprism.png Spherical pentagonal antiprism.png Spherical hexagonal antiprism.png Spherical heptagonal antiprism.png Spherical octagonal antiprism.png
V2.3.3.3 3.3.3.3 4.3.3.3 5.3.3.3 6.3.3.3 7.3.3.3 8.3.3.3 9.3.3.3 10.3.3.3 11.3.3.3 12.3.3.3


Diagrames de Schlegel[modifica | modifica el codi]

3-cube t2.svg
A3
Square antiprismatic graph.png
A4
Pentagonal antiprismatic graph.png
A5
Hexagonal antiprismatic graph.png
A6
Heptagonal antiprism graph.png
A7
Octagonal antiprismatic graph.png
A8

Coordenades cartesianes[modifica | modifica el codi]

Les coordenades cartesianes per als vèrtexs d'un antiprisma recte amb bases n-gonals i triangles isòsceles són

\left( \cos\frac{k\pi}{n}, \sin\frac{k\pi}{n}, (-1)^k h \right)

amb k variant des de 0 fins a 2n−1; si els triangles són equilàters,

2h^2=\cos\frac{\pi}{n}-\cos\frac{2\pi}{n}.

Volum i àrea de la superfície[modifica | modifica el codi]

Sigui a la longitud de les arestes d'un antiprisma uniforme. Llavors el seu volum és

V = \frac{n \sqrt{4\cos^2\frac{\pi}{2n}-1}\sin \frac{3\pi}{2n} }{12\sin^2\frac{\pi}{n}} \; a^3

i l'àrea de la superfície és

A = \frac{n}{2} ( \cot{\frac{\pi}{n}} + \sqrt{3}) a^2.

Políedres relacionats[modifica | modifica el codi]

Existeix un conjunt infinit d'antiprismes truncats, incloent-hi una forma simètrica de l'octàedre truncat.

Antiprismes
Digonal antiprism.png Trigonal antiprism.png Square antiprism.png Pentagonal antiprism.png ...
s{2,4} s{2,6} s{2,8} s{2,10} s{2,2n}
Antiprismes truncats
Truncated digonal antiprism.png Truncated octahedron prismatic symmetry.png Truncated square antiprism.png Truncated pentagonal antiprism.png ...
ts{2,4} ts{2,6} ts{2,8} ts{2,10} ts{2,2n}
Antiprismes xatos (snub (anglès))
J84 Icosàedre J85 Irregulars...
Snub digonal antiprism.png Snub triangular antiprism.png Snub square antiprism colored.png Snub pentagonal antiprism.png ...
ss{2,4} ss{2,6} ss{2,8} ss{2,10} ss{2,2n}

Simetria[modifica | modifica el codi]

El grup de simetria d'un antiprisma de n cares recte amb base regular i cares laterals isòsceles és Dnd d'ordre 4n, excepte en el cas d'un tetràedre, que té un grup de simetria més gran, Td d'ordre 24, que té tres versions de D2d com a subgrups, i l'octàedre, que té un grup de simetria més gran, Oh d'ordre 48, que té quatre versions de D3d com a subgrups.

El grup de simetria conté inversions si i només si n és senar.

El grup de rotació és Dn d'ordre 2n, excepte en el cas d'un tetràedre, que té el grup de rotació T d'ordre 12, que té tres versions de D2 com a subgrups; i l'octàedre, que té el grup de rotació O d'ordre 24, que té quatre versions de D3 com a subgrups.

Antiprisma estrellat[modifica | modifica el codi]

Pentagrammic antiprism.png
5/2-antiprisma
Pentagrammic crossed antiprism.png
5/3-antiprisma
Antiprism 9-2.png
9/2-antiprisma
Antiprism 9-4.png
9/4-antiprisma
Antiprism 9-5.png
9/5-antiprisma
Aquesta figura mostra tots els antiprismes no-estrellats i estrellats de fins a 15 cares, juntament a aquells d'un 29-gon.

Els antiprismes estrellats uniformes s'anomenen per les seves bases en forma de polígon estrellat, {p/q}, i existeixen en les seves variants prògrades i retrògrades (creuades). Les formes creuades tenen figures de vèrtex intersecants, i es denoten amb fraccions invertides, p/(p-q) en comptes de p/q, com per exemple 5/3 en comptes de 5/2.

En les formes retrògrades, però no en les formes prògrades, els triangles que uneixen les bases estrellades intersecten l'eix de la simetria rotacional.

Alguns antiprismes estrellats retrògrads amb bases estrellades regulars no es poden construir amb arestes d'igual longitud, de tal manera que no són políedres uniformes. Els compostos d'antiprismes estrellats també es poden construir quan p i q tenen factors comuns; així, un antiprisma 10/4 és el compost de dos antiprismes estrellats 5/2.

Antiprismes estrellats uniformes per simetria, fins a 12
Grup de simetria Formes estrellades
d5h
[2,5]
(*225)
Pentagrammic antiprism.png
3.3.3.5/2
d5d
[2+,5]
(2*5)
Pentagrammic crossed antiprism.png
3.3.3.5/3
d7h
[2,7]
(*227)
Antiprism 7-2.png
3.3.3.7/2
Antiprism 7-4.png
3.3.3.7/4
d7d
[2+,7]
(2*7)
Antiprism 7-3.png
3.3.3.7/3
d8d
[2+,8]
(2*8)
Antiprism 8-3.png
3.3.3.8/3
Antiprism 8-5.png
3.3.3.8/5
d9h
[2,9]
(*229)
Antiprism 9-2.png
3.3.3.9/2
Antiprism 9-4.png
3.3.3.9/4
d9d
[2+,9]
(2*9)
Antiprism 9-5.png
3.3.3.9/5
d10d
[2+,10]
(2*10)
Antiprism 10-3.png
3.3.3.10/3
d11h
[2,11]
(*2.2.11)
Antiprism 11-2.png
3.3.3.11/2
Antiprism 11-4.png
3.3.3.11/4
Antiprism 11-6.png
3.3.3.11/6
d11d
[2+,11]
(2*11)
Antiprism 11-3.png
3.3.3.11/3
Antiprism 11-5.png
3.3.3.11/5
Antiprism 11-7.png
3.3.3.11/7
d12d
[2+,12]
(2*12)
Antiprism 12-5.png
3.3.3.12/5
Antiprism 12-7.png
3.3.3.12/7
...

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

  • Anthony Pugh. Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley, 1976. ISBN 0-520-03056-7.  Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Kabai, Sándor. «One World Trade Center Antiprism». Wolfram Demonstrations Project. [Consulta: 8 octubre 2013].
A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Antiprisma Modifica l'enllaç a Wikidata