Condició de frontera de Neumann

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, la condició de frontera de Neumann (o de segon tipus) és un tipus de condició de frontera o contorn, anomenat així en al·lusió a Carl Neumann,[1] quan en una equació diferencial ordinària o en derivades parcials, se li s'especifiquen els valors de la derivada d'una solució presa sobre la frontera o contorn del domini.

En el cas d'una equació diferencial ordinària, per exemple, pot ser:

 \frac{d^2y}{dx^2}+3 y = 1

sobre l'interval [0,1] les condicions de frontera de Neumann prenen la forma:

\begin{cases}\frac{dy}{dx}(0) = \alpha_1 \\
\frac{dy}{dx}(1) = \alpha_2 \end{cases}

on  \alpha_1 i  \alpha_2 són nombres donats.

Per a una equació diferencial en derivades parcials sobre un domini  \Omega \subset \mathbb{R}^n tal com:

 \nabla^2 y = 0

on  \nabla^2 és el laplacià, la condició de frontera de Neumann pren la forma:

 \frac{\partial y}{\partial n}(x) = f (x) \quad \forall x \in \partial \Omega.

Aquí, n és la normal a la frontera  \partial \Omega i  f és una funció escalar.

La derivada normal utilitzant la regla de la mà esquerra es defineix com:

 \frac{\partial y}{\partial n}(x) = \nabla y (x) \cdot \mathbf{n}(x)

on  \nabla és el gradient (vector) i el punt és el producte intern amb el vector normal unitari n .

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Cheng, A. i D. T. Cheng (2005). Heritage and early history of the boundary element method, Engineering Analysis with Boundary Elements, 29, 268-302.