Corba integral

Integral de línia d'un camp escalar, f. L'àrea sota la corba C, traçada a la superfície definida per z = f(x,y), és el valor de la integral.

En matemàtiques, una corba integral és una corba paramètrica que representa una solució específica a una equació diferencial ordinària o sistema d'equacions.

Nom

Les corbes integrals es coneixen amb altres noms, depenent de la naturalesa i la interpretació de l'equació diferencial o del camp vectorial. En física, les corbes integrals per a un camp elèctric o camp magnètic es coneixen com a línies de camp, i les corbes integrals per al camp de velocitat d'un fluid es coneixen com a línies de corrent. En els sistemes dinàmics, les corbes integrals d'una equació diferencial que governa un sistema s'anomenen trajectòries o òrbites.

Definició

Suposem que F és un camp vectorial estàtic, és a dir, una funció de valor vectorial amb coordenades cartesianes (F₁, F₂ ,..., F_n), i que x(t) és una corba paramètrica amb coordenades cartesianes (x₁(t), x₂(t),... , x_n(t)). Aleshores x(t) és una corba integral de F si és una solució del sistema autònom d'equacions diferencials ordinàries,

${\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dt}}&=F_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})\\&\vdots \\{\frac {dx_{n}}{dt}}&=F_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}$

Aquest sistema es pot escriure com una única equació vectorial,

$\mathbf {x} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {x} (t)).\!\,$

Aquesta equació diu que el vector tangent a la corba en qualsevol punt x(t) al llarg de la corba és precisament el vector F(x(t)), i per tant la corba x(t) és tangent en cada punt al camp vectorial F.

Si un camp vectorial donat és continu de Lipschitz, aleshores el teorema de Picard-Lindelöf implica que existeix un flux únic per a poc temps.

Tres corbes integrals per al camp de pendent corresponent a l'equació diferencial dy / dx = x ² − x − 2.

Exemples

Si l'equació diferencial es representa com un camp vectorial o un camp de pendent, aleshores les corbes integrals corresponents són tangents al camp en cada punt.

Generalització a varietats diferenciables

Definició

Sigui M una varietat de Banach de classe C ^r amb r ≥ 2. Com és habitual, T M denota el feix tangent de M amb la seva projecció natural π _M : T M → M donat per

$\pi _{M}:(x,v)\mapsto x.$

Un camp vectorial a M és una secció transversal del paquet tangent T M, és a dir, una assignació a cada punt de la varietat M d'un vector tangent a M en aquest punt. Sigui X un camp vectorial a M de classe C^r−1 i sigui p ∈ M. Una corba integral per a X que passa per p en el temps t₀ és una corba α: J → M de classe C^r−1, definit en un interval obert J de la recta real R que conté t₀, de manera que

$\alpha (t_{0})=p;\,$

$\alpha '(t)=X(\alpha (t)){\mbox{ per tot }}t\in J.$