Corba integral
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/42/Line_integral_of_scalar_field.gif/283px-Line_integral_of_scalar_field.gif)
En matemàtiques, una corba integral és una corba paramètrica que representa una solució específica a una equació diferencial ordinària o sistema d'equacions.[1]
Nom
[modifica]Les corbes integrals es coneixen amb altres noms, depenent de la naturalesa i la interpretació de l'equació diferencial o del camp vectorial. En física, les corbes integrals per a un camp elèctric o camp magnètic es coneixen com a línies de camp, i les corbes integrals per al camp de velocitat d'un fluid es coneixen com a línies de corrent. En els sistemes dinàmics, les corbes integrals d'una equació diferencial que governa un sistema s'anomenen trajectòries o òrbites.[2]
Definició
[modifica]Suposem que F és un camp vectorial estàtic, és a dir, una funció de valor vectorial amb coordenades cartesianes (F1, F2 ,..., Fn), i que x(t) és una corba paramètrica amb coordenades cartesianes (x1(t), x2(t),... , xn(t)). Aleshores x(t) és una corba integral de F si és una solució del sistema autònom d'equacions diferencials ordinàries,
Aquest sistema es pot escriure com una única equació vectorial,
Aquesta equació diu que el vector tangent a la corba en qualsevol punt x(t) al llarg de la corba és precisament el vector F(x(t)), i per tant la corba x(t) és tangent en cada punt al camp vectorial F.
Si un camp vectorial donat és continu de Lipschitz, aleshores el teorema de Picard-Lindelöf implica que existeix un flux únic per a poc temps.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Slope_Field.png/250px-Slope_Field.png)
Exemples
[modifica]Si l'equació diferencial es representa com un camp vectorial o un camp de pendent, aleshores les corbes integrals corresponents són tangents al camp en cada punt.[3][4]
Generalització a varietats diferenciables
[modifica]Definició
[modifica]Sigui M una varietat de Banach de classe C r amb r ≥ 2. Com és habitual, T M denota el feix tangent de M amb la seva projecció natural π M : T M → M donat per
Un camp vectorial a M és una secció transversal del paquet tangent T M, és a dir, una assignació a cada punt de la varietat M d'un vector tangent a M en aquest punt. Sigui X un camp vectorial a M de classe Cr−1 i sigui p ∈ M. Una corba integral per a X que passa per p en el temps t0 és una corba α: J → M de classe Cr−1, definit en un interval obert J de la recta real R que conté t0, de manera que
Referències
[modifica]- ↑ «16.2: Line Integrals» (en anglès), 11-07-2016. [Consulta: 27 agost 2024].
- ↑ «What Are Integral Curves and Direction Fields Used for?» (en anglès). [Consulta: 27 agost 2024].
- ↑ Weisstein, Eric W. «Integral Curve» (en anglès). [Consulta: 27 agost 2024].
- ↑ «Integral Calculator: Step-by-Step Solutions - Wolfram|Alpha» (en anglès). [Consulta: 27 agost 2024].