Dodecàedre truncat

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Dodecàedre truncat
Cuboctaèdre
Tipus Políedre arquimedià
Cares Triangles i decàgons
Elements :
 · Cares
 · Arestes
 · Vèrtex
 · Característica
 
32 (20 triangles i 12 decàgons)
90
60
2
Cares per vèrtex 3
Vèrtex per cara 3 i 10
Simetries Ih
Dual Icosàedre triakis
Propietats Semi-regular i convex

En geometria, el dodecàedre truncat és un dels tretze políedres arquimedians, s'obté truncant els vint vèrtex de l'dodecàedre.

Té 32 cares, 12 de les quals són decagonals i 20 triangulars, 90 arestes i a cadascun dels seus 60 vèrtex i concorren dues cares decagonals i una triangular.

Àrea i volum[modifica | modifica el codi]

Les fórmules per calcular l'àrea A i el volum V d'un dodecàedre truncat tal que les seves arestes tenen longitud a són les següents:

A=(5\sqrt{3}+30\sqrt{5+2\sqrt{5}})a^2
V=\begin{matrix}{5\over12}\end{matrix}(99+47\sqrt{5})a^3

Esferes circumscrita, inscrita i tangent a les arestes[modifica | modifica el codi]

Els radis R, r i \rho de les esferes circumscrita, inscrita i tangent a les arestes respectivament són:

\begin{align}
 & R=\frac{a\sqrt{74+30\sqrt{5}}}{4} \\ 
 & r=\frac{5a\left( 17\sqrt{2}+3\sqrt{10} \right)\sqrt{37+15\sqrt{5}}}{488} \\ 
 & \rho =\frac{a\left( 5+3\sqrt{5} \right)}{4} \\ 
\end{align}

On a és la longitud de les arestes.

Dualitat[modifica | modifica el codi]

El políedre dual del dodecàedre truncat és l'icosàedre triakis.

Desenvolupament pla[modifica | modifica el codi]

Desenvolupament pla del dodecàedre truncat


Simetries[modifica | modifica el codi]

El grup de simetria del dodecàedre truncat té 120 elements; el grup de les simetries que preserven les orientacions és el grup icosàedric  I \cong A_5 . Són els mateixos grups de simetria que per l'icosàedre i pel dodecàedre.

Políedres relacionats[modifica | modifica el codi]

La següent successió de políedres il·lustra una transició des del dodecàedre a l'icosàedre passant pel dodecàedre truncat:

Dodecàedre
dodecàedre
Dodecàedre truncat
dodecàedre truncat
Icosidodecàedre
icosidodecàedre
Icosàedre truncat
icosàedre truncat
Icosàedre
icosàedre

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

  • H. M. Cundy & A. P. Rollett. I modelli matematici. Milà: Feltrinelli, 1974. 
  • Dedò, Maria. Forme, simmetria e topologia. Bolonya: Decibel & Zanichelli, 1999. ISBN 88-08-09615-7. 

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]