Políedre de Catalan

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
El dodecàedre ròmbic és un dels 13 sòlids de Catalan.

En geometria un sòlid de Catalan, o sòlid arquimedià dual és un políedre dual d'un sòlid arquimedià. Els sòlids de Catalan prenen el nom en honor al matemàtic belga Eugène Charles Catalan qui els va descriure per primer cop al 1865.

Propietats[modifica | modifica el codi]

Cares uniformes[modifica | modifica el codi]

Tots els sòlids de Catalan són convexos. Com que els sòlids arquimedians tenen els vèrtexs uniformes, i la dualitat intercanvia el paper dels vèrtexs i les cares, els de Catalan tenen les cares uniformes: per a cada parella de cares, hi ha una simetria del sòlid que transforma que trasllada la primera sobre la segona. Per altra banda, com que els sòlids arquimedians no són uniformes respecte de les cares, els de Catalan no ho són respecte dels vèrtexs: de fet hi ha vèrtexs amb diferents plans incidents.

A diferència dels sòlids platònics i dels sòlids arquimedians, les cares dels sòlids de Catalan no són polígons regulars. Tanmateix els polígons que sorgeixen de truncar els vèrtex són polígons regulars i presenten angles díedres iguals. A més, dos dels sòlids de Catalan, el dodecàedre ròmbic i el triacontàedre ròmbic són uniformes respecte de les arestes.

Quiralitat[modifica | modifica el codi]

Igual que per als seus duals els sòlids arquimedians, hi ha dos sòlids de Catalan amb quiralitat: l'icositetràedre pentagonal i l'hexacontàedre pentagonal. Són sòlids que no són equivalents a la seva imatge especular.

Els sòlids[modifica | modifica el codi]

A la taula, els grups de simetria Oh, Ih i Td són respectivament el grup de simetria de l'octaedre, icosaedre i tetraedre. Els grups O i I són respectivament els subgrups de Oh i Ih formats per les simetries que preserven l'orientació.

Nom Imatge Desenvolupament pla Dual (Sòlids arquimedians) Cares Arestes Vèrtex Polígons que formen les caes Simetria
tetràedre triakis Triakis tetrahedron
(Video)
Desenvolupament pla del tetràedre triakis tetràedre truncat 12 18 8 triangle isòsceles
V3.6.6
Td
dodecàedre ròmbic Rhombic dodecahedron
(Video)
Dodecàedre ròmbic cuboctàedre 12 24 14 rombe
V3.4.3.4
Oh
octàedre triakis Triakis octahedron
(Video)
Desenvolupament pla de l'octàedre triakis cub truncat 24 36 14 triangle isòsceles
V3.8.8
Oh
Cub tetrakis Tetrakis hexahedron
(Video)
Desenvolupament pla del Cub tetrakis octàedre truncat 24 36 14 triangle isòsceles
V4.6.6
Oh
icositetràedre trapezoïdal Deltoidal icositetrahedron
(Video)
Desenvolupament pla de l'icositetràedre trapezoïdal rombicuboctàhedre 24 48 26 trapezoide
V3.4.4.4
Oh
octàedre hexaquis
Disdyakis dodecahedron
(Video)
Desenvolupament pla de l'octàedre hexaquis cuboctàedre truncat 48 72 26 triangle escalè
V4.6.8
Oh
icositetràedre pentagonal Pentagonal icositetrahedron (Ccw)Pentagonal icositetrahedron (Cw)
(Video)(Video)
Desenvolupament pla de l'icositetràedre pentagonal cub xato 24 60 38 pentàgon irregular
V3.3.3.3.4
O
triacontàedre ròmbic Rhombic triacontahedron
(Video)
Desenvolupament pla del triacontàedre ròmbic icosidodecàedre 30 60 32 rombe
V3.5.3.5
Ih
icosàedre triakis Triakis icosahedron
(Video)
Desenvolupament pla de l'icosàedre triakis dodecàedre truncat 60 90 32 triangle isòsceles
V3.10.10
Ih
dodecàedre pentakis Pentakis dodecahedron
(Video)
Desenvolupament pla del dodecàedre pentakis icosàedre truncat 60 90 32 triangle isòsceles
V5.6.6
Ih
hexacontàedre trapezoidal Deltoidal hexecontahedron
(Video)
Desenvolupament pla de l'hexacontàedre trapezoidal rhombicosidodecàhedre 60 120 62 pentàgon irregular
V3.4.5.4
Ih
icosàedre hexakis
Disdyakis triacontahedron
(Video)
Desenvolupament pla de l'icosàedre hexakis icosidodecàedre truncat 120 180 62 triangle escalè
V4.6.10
Ih
hexacontàedre pentagonal Pentagonal hexecontahedron (Ccw)Pentagonal hexecontahedron (Cw)
(Video)(Video)
Desenvolupament pla de l'hexacontàedre pentagonal dodecàedre xato 60 150 92 pentàgon irregular
V3.3.3.3.5
I

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]