Icosidodecàedre truncat

Icosidodecàedre truncat
	Model 3D
Tipus	políedre arquimedià i políedre uniforme
Forma de les cares	quadrat (30); hexàgon regular (20); decàgon regular (12)
Símbol de Schläfli	tr{5,3}
Simetria	Ih
Dual	icosàedre hexakis
Elements
Vèrtexs	120;
Arestes	180;
Cares	62
Més informació
MathWorld	GreatRhombicosidodecahedron

En geometria, l'icosidodecàedre truncat o gran rombicosidodecàedre (no s'ha de confondre amb el gran rombicosidodecàedre no convex) és un dels tretze políedres arquimedians.

Té 62 cares, 30 de les quals són quadrades, 20 hexagonals i 12 decagonals, 180 arestes i a cadascun dels seus 120 vèrtex i concorren una cara quadrada, una hexagonal i una decagonal.

Àrea i volum[modifica]

Les fórmules per calcular l'àrea A i el volum V d'un gran rombi-cosidodecàedre tal que les seves arestes tenen longitud a són les següents:

A=30\left(1+{\sqrt {2\left(4+{\sqrt {5}}+{\sqrt {15+6{\sqrt {6}}}}\right)}}\right)a^{2}

V=\left(95+50{\sqrt {5}}\right)a^{3}

Esferes circumscrita, inscrita i tangent a les arestes[modifica]

Els radis R, r i $\rho$ de les esferes circumscrita, inscrita i tangent a les arestes respectivament són:

{\begin{aligned}&R={\frac {a{\sqrt {31+12{\sqrt {5}}}}}{2}}\\&r={\frac {a\left(105+6{\sqrt {5}}\right){\sqrt {31+12{\sqrt {5}}}}}{241}}\\&\rho ={\frac {a{\sqrt {31+12{\sqrt {5}}}}}{2}}\\\end{aligned}}

On a és la longitud de les arestes.

Dualitat[modifica]

El políedre dual del gran rombi-cosidodecàedre és el icosàedre hexakis.

Desenvolupament pla[modifica]

Simetries[modifica]

El grup de simetria del gran rombi-cosidodecàedre té 120 elements; el grup de les simetries que preserven les orientacions és el grup icosàedric $I\cong A_{5}$ . Són els mateixos grups de simetria que per l'icosàedre i pel dodecàedre.

Políedres relacionats[modifica]

El gran rombicosidodecàedre es pot obtenir truncant simultàniament els vèrtexs i les arestes tant de l'icosàedre com del dodecàedre.

Les vint cares hexagonals i dels dotze cares decagonals del gran rombicosidodecàedre descansen sobre els plens de les cares d'un icosàedre i d'un dodecàedre respectivament. En canvi les trenta cares quadrades descansen sobre els mateixos plans que les cares d'un triacontàedre ròmbic, que és el políedre dual del icosidodecaedre.

EN altres paraules, unint els centres dels decàgons s'obté un icosàedre, unint els centres dels hexàgons s'obté un dodecàedre i unint els centres dels quadrats icosidodecàedre.