Domini de Lipschitz

En matemàtiques, un domini de Lipschitz (o domini amb frontera de Lipschitz) és un domini en l'espai euclidià la frontera del qual és "suficientment regular" en el sentit que es pot considerar como la gràfica d'una funció contínua de Lipschitz. El terme du el nom del matemàtic alemany Rudolf Lipschitz.

Definició

Sigui n ∈ N, i pregui's Ω com un subconjunt obert i fitat de Rⁿ. Denoti's ∂Ω la frontera d'Ω. Llavors es diu que Ω té una frontera de Lipschitz, i rep el nom de domini de Lipschitz, si, per cada punt p ∈ ∂Ω, existeix un radi r > 0 i un mapeig h_p : B_r(p) → Q tal que

• h_p és una bijecció;
• h_p i h_p⁻¹ són ambdues funcions contínues de Lipschitz;
• h_p(∂Ω ∩ B_r(p)) = Q₀;
• h_p(Ω ∩ B_r(p)) = Q₊;

on

$B_{r}(p):=\{x\in \mathbb {R} ^{n}|\|x-p\|<r\}$

denota la bola oberta de dimensió n de radi r al voltant de p, Q denota la bola unitària B₁(0), i

$Q_{0}:=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in Q|x_{n}=0\};$

$Q_{+}:=\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in Q|x_{n}>0\}.$

Aplicacions dels dominis de Lipschitz

Moltes de les desigulatats de Sobòlev requereixen que el domini d'estudi sigui un domini de Lipschitz. En consqüència, moltes equacions diferencials parcials i problemes variacionals són definits en un domini de Lipschitz.

Bibliografia

• Dacorogna, B.. Introduction to the Calculus of Variations. Imperial College Press, London, 2004. ISBN 1-86094-508-2.