Derivada segona: diferència entre les revisions
m Robot: Reemplaçament automàtic de text (- raó per la que + raó per la qual ) |
Cap resum de modificació |
||
Línia 57: | Línia 57: | ||
== Aproximació quadràtica == |
== Aproximació quadràtica == |
||
Igual com la derivada primera relaciona amb una [[aproximació lineal]] de la funció, la derivada segona es relaciona amb la millor [[aproximació quadràtica]] per a una funció ƒ. Aquesta és la [[funció quadràtica]] tal que les seves derivades primera i segona són les mateixes que les de ƒ en un punt donat. La fórmula per la millor aproximació quadràtica a una funció ƒ al voltant del punt ''x'' |
Igual com la derivada primera relaciona amb una [[aproximació lineal]] de la funció, la derivada segona es relaciona amb la millor [[aproximació quadràtica]] per a una funció ƒ. Aquesta és la [[funció quadràtica]] tal que les seves derivades primera i segona són les mateixes que les de ƒ en un punt donat. La fórmula per la millor aproximació quadràtica a una funció ƒ al voltant del punt ''x'' = ''a'' és |
||
:<math>f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2.</math> |
:<math>f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2.</math> |
||
Aquesta aproximació quadràtica és el [[Teorema de Taylor|polinomi de Taylor]] de segon ordre per la funció centrada a ''x'' |
Aquesta aproximació quadràtica és el [[Teorema de Taylor|polinomi de Taylor]] de segon ordre per la funció centrada a ''x'' = ''a'' . |
||
== Generalització a dimensions superiors == |
== Generalització a dimensions superiors == |
||
Línia 66: | Línia 66: | ||
{{Principal|Matriu Hessiana}} |
{{Principal|Matriu Hessiana}} |
||
La derivada segona es generalitza a dimensions superiors a través de la noció de [[derivada parcial|derivades parcials]] segones. Per a una funció ƒ:'''R'''<sup>3</sup> |
La derivada segona es generalitza a dimensions superiors a través de la noció de [[derivada parcial|derivades parcials]] segones. Per a una funció ƒ:'''R'''<sup>3</sup> → '''R''', aquests inclouen les tres derivades parcials de segon ordre |
||
:<math>\frac{\part^2 f}{\part x^2}, \; \frac{\part^2 f}{\part y^2}, \text{ i }\frac{\part^2 f}{\part z^2}</math> |
:<math>\frac{\part^2 f}{\part x^2}, \; \frac{\part^2 f}{\part y^2}, \text{ i }\frac{\part^2 f}{\part z^2}</math> |
||
Línia 87: | Línia 87: | ||
=== Impreses === |
=== Impreses === |
||
* {{Ref-llibre |
* {{Ref-llibre |
||
| |
|cognom= Anton |
||
| |
|nom = Howard |
||
| |
|cognom2 = Bivens |
||
| |
|nom2 = Irl |
||
| |
|cognom3 = Davis |
||
| |
|nom3 = Stephen |
||
| |
|data = February 2, 2005 |
||
|títol = Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable |
|títol = Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable |
||
| |
|lloc = New York |
||
|editorial = Wiley |
|editorial = Wiley |
||
|edició = 8è |
|edició = 8è |
||
Línia 102: | Línia 102: | ||
* {{Ref-llibre |
* {{Ref-llibre |
||
| |
|cognom= Apostol |
||
| |
|nom= Tom M. |
||
| |
|data = June 1967 |
||
|títol = Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra |
|títol = Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra |
||
|editorial = Wiley |
|editorial = Wiley |
||
|edició = 2n |
|edició = 2n |
||
| |
|volum = 1 |
||
|isbn = 978-0471000051 |
|isbn = 978-0471000051 |
||
}} |
}} |
||
* {{Ref-llibre |
* {{Ref-llibre |
||
| |
|cognom = Apostol |
||
| |
|nom= Tom M. |
||
| |
|data = June 1969 |
||
|títol = Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications |
|títol = Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications |
||
|editorial = Wiley |
|editorial = Wiley |
||
|edició = 2n |
|edició = 2n |
||
| |
|volum = 1 |
||
|isbn = 978-0471000075 |
|isbn = 978-0471000075 |
||
}} |
}} |
||
* {{Ref-llibre |
* {{Ref-llibre |
||
| |
|cognom= Eves |
||
| |
|nom= Howard |
||
| |
|data = January 2, 1990 |
||
|títol = An Introduction to the History of Mathematics |
|títol = An Introduction to the History of Mathematics |
||
|edició = 6è |
|edició = 6è |
||
Línia 131: | Línia 131: | ||
}} |
}} |
||
* {{Ref-llibre |
* {{Ref-llibre |
||
| |
|cognom= Larson |
||
| |
|nom= Ron |
||
| |
|cognom2 = Hostetler |
||
| |
|nom2 = Robert P. |
||
| |
|cognom3 = Edwards |
||
| |
|nom3 = Bruce H. |
||
| |
|data = February 28, 2006 |
||
|títol = Calculus: Early Transcendental Functions |
|títol = Calculus: Early Transcendental Functions |
||
|edició = 4t |
|edició = 4t |
||
Línia 144: | Línia 144: | ||
}} |
}} |
||
* {{Ref-llibre |
* {{Ref-llibre |
||
| |
|cognom= Spivak |
||
| |
|nom= Michael |
||
| |
|enllaçautor = Michael Spivak |
||
| |
|data = September 1994 |
||
|títol = Calculus |
|títol = Calculus |
||
|editorial = Publish or Perish |
|editorial = Publish or Perish |
||
Línia 154: | Línia 154: | ||
}} |
}} |
||
* {{Ref-llibre |
* {{Ref-llibre |
||
| |
|cognom= Stewart |
||
| |
|nom= James |
||
| |
|data = December 24, 2002 |
||
|títol = Calculus |
|títol = Calculus |
||
|editorial = Brooks Cole |
|editorial = Brooks Cole |
||
Línia 163: | Línia 163: | ||
}} |
}} |
||
* {{Ref-llibre |
* {{Ref-llibre |
||
| |
|cognom= Thompson |
||
| |
|nom= Silvanus P. |
||
| |
|data = September 8, 1998 |
||
|títol = Calculus Made Easy |
|títol = Calculus Made Easy |
||
|edició = Revisat, Actualitzada, S'Estenia |
|edició = Revisat, Actualitzada, S'Estenia |
||
| |
|lloc= New York |
||
|editorial = St. Martin's Press |
|editorial = St. Martin's Press |
||
|isbn = 978-0312185480 |
|isbn = 978-0312185480 |
||
Línia 175: | Línia 175: | ||
=== Llibres en línia === |
=== Llibres en línia === |
||
* {{Ref-llibre |
* {{Ref-llibre |
||
| |
|cognom= Crowell |
||
| |
|nom= Benjamin |
||
|títol = Calculus |
|títol = Calculus |
||
|any = 2003 |
|any = 2003 |
||
Línia 182: | Línia 182: | ||
}} |
}} |
||
* {{Ref-llibre |
* {{Ref-llibre |
||
| |
|cognom= Garrett |
||
| |
|nom= Paul |
||
|any = 2004 |
|any = 2004 |
||
|títol = Notes on First-Year Calculus |
|títol = Notes on First-Year Calculus |
||
Línia 189: | Línia 189: | ||
}} |
}} |
||
* {{Ref-llibre |
* {{Ref-llibre |
||
| |
|cognom= Hussain |
||
| |
|nom= Faraz |
||
|any = 2006 |
|any = 2006 |
||
|títol = Understanding Calculus |
|títol = Understanding Calculus |
||
Línia 196: | Línia 196: | ||
}} |
}} |
||
* {{Ref-llibre |
* {{Ref-llibre |
||
| |
|cognom= Keisler |
||
| |
|nom= H. Jerome |
||
|any = 2000 |
|any = 2000 |
||
|títol = Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals |
|títol = Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals |
||
Línia 203: | Línia 203: | ||
}} |
}} |
||
* {{Ref-llibre |
* {{Ref-llibre |
||
| |
|cognom= Mauch |
||
| |
|nom= Sean |
||
|any = 2004 |
|any = 2004 |
||
|títol = Unabridged Version of Sean's Applied Math Book |
|títol = Unabridged Version of Sean's Applied Math Book |
||
Línia 210: | Línia 210: | ||
}} |
}} |
||
* {{Ref-llibre |
* {{Ref-llibre |
||
| |
|cognom= Sloughter |
||
| |
|nom= Dan |
||
|any = 2000 |
|any = 2000 |
||
|títol = Difference Equations to Differential Equations |
|títol = Difference Equations to Differential Equations |
||
Línia 217: | Línia 217: | ||
}} |
}} |
||
* {{Ref-llibre |
* {{Ref-llibre |
||
| |
|cognom= Strang |
||
| |
|nom= Gilbert |
||
|any = 1991 |
|any = 1991 |
||
|títol = Calculus |
|títol = Calculus |
||
Línia 224: | Línia 224: | ||
}} |
}} |
||
* {{Ref-llibre |
* {{Ref-llibre |
||
| |
|cognom= Stroyan |
||
| |
|nom= Keith D. |
||
|any = 1997 |
|any = 1997 |
||
|títol = A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus |
|títol = A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus |
||
Línia 231: | Línia 231: | ||
}} |
}} |
||
* {{Ref-llibre |
* {{Ref-llibre |
||
| |
|cognom= Wikibooks |
||
|títol = Calculus |
|títol = Calculus |
||
|url = http://en.wikibooks.org/wiki/Calculus |
|url = http://en.wikibooks.org/wiki/Calculus |
Revisió del 23:03, 12 feb 2013
En càlcul, la derivada segona d'una funció ƒ és la derivada de la derivada de ƒ. A grans trets, la derivada segona mesura com canvia la taxa de variació d'una quantitat; per exemple, la segona derivada de la posició d'un vehicle respecte a temps és l'acceleració instantània del vehicle, o la raó a què la velocitat del vehicle està canviant.
Sobre la gràfica d'una funció, la segona derivada correspon a la curvatura o concavitat de la gràfica. La gràfica d'una funció amb derivada segona positiva es corba cap amunt, mentre la gràfica d'una funció amb derivada segona negativa es corva cap avall.
Notació
La derivada segona d'una funció es nota normalment . És a dir:
En fer servir la Notació de Leibniz per a derivades, la derivada segona d'una variable dependent y respecte a una variable independent x s'escriu
Aquesta notació s'obté de la fórmula següent:
Exemple
Donada la funció
la derivada de ƒ és la funció
La derivada segona de ƒ és la derivada de ƒ′, és a dir
Relació amb la gràfica
Concavitat
La segona derivada d'una funció ƒ mesura la concavitat de la gràfica de ƒ. Una funció tal que la seva derivada segona és positiva serà convexa, el que vol dir que la recta tangent quedarà per sota el gràfic de la funció. De forma Similar, una funció tal que la seva derivada segona sigui negativa serà còncava, i les seves rectes tangents quedaran per damunt del gràfic de la funció.
Punts d'inflexió
Si la derivada segona d'una funció canvia de signa, el gràfic de la funció canviarà de còncava a convexa, o viceversa. Un punt on això ocorre s'anomena un punt d'inflexió. Suposant que la derivada segona sigui continua, ha de prendre un valor zero en qualsevol punt d'inflexió, encara que no tots els punts on la derivada segona és zero són necessàriament punts d'inflexió.
Test de la derivada segona
La relació entre la segona derivada i el gràfic es pot fer servir per provar si un punt estacionari d'una funció (i.e. un punt on ) és un màxim local o un mínim local. Específicament
- Si llavors té un màxim local a .
- Si llavors té un mínim local a .
- Si , el test de la derivada segona no diu res respecte del punt , un punt d'inflexió possible.
La raó per la qual la derivada segona produeix aquests resultats poden ser vistos amb una analogia de món real. Considereu un vehicle que al principi s'està movent endavant a gran velocitat, però amb una acceleració negativa. Clarament la posició del vehicle en el punt on la velocitat arriba a zero serà la màxima distància des de la posició de sortida - després d'aquest moment, la velocitat es torna negativa i el vehicle fa marxa enrere. El mateix és veritable per al mínim, amb un vehicle que al principi té una velocitat molt negativa però acceleració positiva.
Límit
La derivada segona es pot definir amb un únic límit:
L'expressió a la dreta es pot escriure com a quocient de diferències de quocients de diferències:
Aquest límit es pot veure com a versió contínua de la segona diferència per a successions.
Aproximació quadràtica
Igual com la derivada primera relaciona amb una aproximació lineal de la funció, la derivada segona es relaciona amb la millor aproximació quadràtica per a una funció ƒ. Aquesta és la funció quadràtica tal que les seves derivades primera i segona són les mateixes que les de ƒ en un punt donat. La fórmula per la millor aproximació quadràtica a una funció ƒ al voltant del punt x = a és
Aquesta aproximació quadràtica és el polinomi de Taylor de segon ordre per la funció centrada a x = a .
Generalització a dimensions superiors
El Hessià
La derivada segona es generalitza a dimensions superiors a través de la noció de derivades parcials segones. Per a una funció ƒ:R3 → R, aquests inclouen les tres derivades parcials de segon ordre
and the mixed partials
i les derivades parcials creuades
Aquestes encaixen en una matriu simètrica coneguda com el hessià. Els valors propis d'aquesta matriu es poden fer servir per implementar un test anàleg al de la segona derivada en càlcul multivariable.
El laplacià
Una altra generalització comuna de la derivada segona és el laplacià. Aquest és l'operador diferencial definit per
El laplacià d'una funció és igual a la divergència del gradient.
Referències
Impreses
- Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen. Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable. 8è. New York: Wiley, February 2, 2005. ISBN 978-0471472445.
- Apostol, Tom M. Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra. 1. 2n. Wiley, June 1967. ISBN 978-0471000051.
- Apostol, Tom M. Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications. 1. 2n. Wiley, June 1969. ISBN 978-0471000075.
- Eves, Howard. An Introduction to the History of Mathematics. 6è. Brooks Cole, January 2, 1990. ISBN 978-0030295584.
- Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. Calculus: Early Transcendental Functions. 4t. Houghton Mifflin Company, February 28, 2006. ISBN 978-0618606245.
- Spivak, Michael. Calculus. 3r. Publish or Perish, September 1994. ISBN 978-0914098898.
- Stewart, James. Calculus. 5è. Brooks Cole, December 24, 2002. ISBN 978-0534393397.
- Thompson, Silvanus P. Calculus Made Easy. Revisat, Actualitzada, S'Estenia. New York: St. Martin's Press, September 8, 1998. ISBN 978-0312185480.
Llibres en línia
- Crowell, Benjamin. Calculus, 2003.
- Garrett, Paul. Notes on First-Year Calculus, 2004.
- Hussain, Faraz. Understanding Calculus, 2006.
- Keisler, H. Jerome. Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, 2000.
- Mauch, Sean. Unabridged Version of Sean's Applied Math Book, 2004.
- Sloughter, Dan. Difference Equations to Differential Equations, 2000.
- Strang, Gilbert. Calculus, 1991.
- Stroyan, Keith D. A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, 1997.
- Wikibooks. Calculus.