|
|
Línia 89: |
Línia 89: |
|
:fa que <math>M</math> es pugui considerar un <math>\operatorname{Hom}_{A}(E)</math>-mòdul. |
|
:fa que <math>M</math> es pugui considerar un <math>\operatorname{Hom}_{A}(E)</math>-mòdul. |
|
|
|
|
|
* Si <math>A</math> és un anell i <math>\mathfrak{a}\,</math> n'és un [[ideal]] (per l'esquerra), aleshores el propi <math>\mathfrak{a}\,</math>, amb l'operació |
|
* Si <math>A</math> és un anell i <math>\mathfrak{a}\,</math> n'és un [[ideal (matemàtiques)|ideal]] (per l'esquerra), aleshores el propi <math>\mathfrak{a}\,</math>, amb l'operació |
|
::<math>\begin{array}[c]{ccc} |
|
::<math>\begin{array}[c]{ccc} |
|
A \times \mathfrak{a} & \longrightarrow & \mathfrak{a} \\ |
|
A \times \mathfrak{a} & \longrightarrow & \mathfrak{a} \\ |
Un A-mòdul és una estructura algebraica que involucra un anell A i un grup abelià. Es tracta d'una generalització de l'estructura d'espai vectorial en la qual el cos d'escalars és substituït per un anell.
A-mòduls per l'esquerra
Sigui un anell i un grup abelià. El grup té estructura de -mòdul per l'esquerra si l'anell opera linealment per l'esquerra sobre els elements de , és a dir, si hi ha una operació externa de sobre :
amb les condicions de linealitat
|
|
|
per a i . Si, a més, l'anell té unitat, es demana que
|
A-mòduls per la dreta
Si l'operació externa és per la dreta,
amb les corresponents condicions de linealitat:
|
|
|
aleshores es tracta d'un -mòdul per la dreta.
A-mòduls bilàters
Si l'anell és commutatiu, aleshores és possible la identificació , perquè les condicions i ja no són contradictòries. Aleshores té estructura de -mòdul bilàter o, simplement, d'-mòdul. El costum, però, és d'escriure'n les propietats i els càlculs com si es tractés d'un -mòdul per l'esquerra.
Exemples
- Si és un anell, ell mateix es pot considerar com a -mòdul de manera natural:
- Els grups commutatius són -mòduls. En efecte, si és un grup commutatiu (notació additiva) i , l'operació externa de sobre donada per:
- dota el grup d'una estructura de -mòdul.
- Els espais vectorials sobre un cos són -mòduls.
- Si és l'anell d'endomorfismes d'un -mòdul , l'operació externa
- fa que es pugui considerar un -mòdul.
- Si és un anell i n'és un ideal (per l'esquerra), aleshores el propi , amb l'operació
- és un -mòdul (per l'esquerra), perquè, per a tot i tot , el producte pertany a .
Viccionari