Cúpula pentagonal: diferència entre les revisions

Cúpula pentagonal
	Model 3D
Tipus	Sòlid de Johnson
Forma de les cares	Triangles equilàters quadrats, un pentàgon i un decàgon
Configuració de vèrtex	triangle i trapezi
Símbol de Schläfli	{5}\|\|t{5}
Cares per vèrtex	3 i 4
Vèrtexs per cara	3, 4, 5 i 10
Simetria	C5v
Dual	-
Propietats	Convex
Elements
Cares	12
Arestes	25
Vèrtexs	15
Característica	2
Més informació
MathWorld	PentagonalCupola

Exploració interactiva de l'historial

← Edició anterior Edició següent →

Contingut suprimit Contingut afegit

VisualWikitext

En línia

Revisió del 10:34, 16 jul 2020

En geometria, la cúpula pentagonal es pot construir tallant una llesca d'un petit rombi-cosidodecàedre. És un dels noranta-dos sòlids de Johnson (J₅). Té simetria C_5v.

Els 92 sòlids de Johnson van ser descrits 1966 per Norman Johnson i els va numerar. No va demostrar que no n'existia més que 92, però va conjecturar que no n'hi havia d'altres. Victor Zalgaller el 1969 va demostrar que la llista de Johnson era completa. S'utilitzen els noms i l'ordre donats per Johnson, i se'ls nota J_xx on xx és el nombre donat per Jonson.

Fórmules

L'àrea de la cúpula pentagonal de costat $L$ és

A={\frac {L^{2}}{4}}\cdot \left(20+5{\sqrt {3}}+{\sqrt {725+310{\sqrt {5}}}}\right)\approx L^{2}\cdot 16.57975

^[1]

El volum de la cúpula pentagonal de costat $L$ és

V={\frac {L^{3}}{6}}\cdot (5+4{\sqrt {5}})\approx L^{3}\cdot 2.32405

^[1]

L'altura de la cúpula pentagonal de costat $L$ és

h=L\cdot {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}}\approx L\cdot 0.52573

^[1]

El circumradi de la cúpula pentagonal de costat $L$ és

R=L\cdot \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {11+4{\sqrt {5}}}}\right)\approx L\cdot 2.23295

^[2]

Desenvolupament pla

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 Sapiña, R. «Àrea i volum de la cúpula pentagonal o sòlid de Johnson J₅» (en castellà). Problemas y ecuaciones. ISSN: 2659-9899 [Consulta: 16 juliol 2020].
↑ Stephen Wolfram, "Pentagonal cupola" from Wolfram Alpha. [Consulta: 11 abril 2020].

Victor A. Zalgaller, "Convex Polyhedra with Regular Faces", 1969 : primera demostració d'aquesta conjectura.
Eric W. Weisstein. Johnson Solid : cada sòlid amb el seu desenvolupament

Vegeu també

Enllaços externs

Weistein, Eric W., pentagonal cupola cúpula pentagonal a MathWorld. (anglès)
Weistein, Eric W., Johnson solid Sòlid s de Johnson a MathWorld. (anglès)

[pye-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 Sapiña, R. «Àrea i volum de la cúpula pentagonal o sòlid de Johnson J₅» (en castellà). Problemas y ecuaciones. ISSN: 2659-9899 [Consulta: 16 juliol 2020].

[2] Stephen Wolfram, "Pentagonal cupola" from Wolfram Alpha. [Consulta: 11 abril 2020].

[1]

[2]

@@ Línia 19: / Línia 19: @@
 Els 92 sòlids de Johnson van ser descrits [[1966]] per [[Norman Johnson]] i els va numerar. No va demostrar que no n'existia més que 92, però va conjecturar que no n'hi havia d'altres. Victor Zalgaller el 1969 va demostrar que la llista de Johnson era completa. S'utilitzen els noms i l'ordre donats per Johnson, i se'ls nota J<sub>xx</sub> on xx és el nombre donat per Jonson.
-== Superfície i volum ==
+== Fórmules ==
-L'àrea ''A'' i el volum ''V'' d'una cúpula pentagonal d'aresta de longitud ''a'' es poden calcular amb les següents fórmules:
+*L'[[àrea]] de la cúpula pentagonal de costat <math>L</math> és
+:<math>A = \frac{L^2}{4}\cdot \left(20+5\sqrt{3} + \sqrt{725+310\sqrt{5}}\right) \approx L^2 \cdot 16.57975</math><ref name="pye">{{cita publicació |cognom=Sapiña |nom=R. |títol=Àrea i volum de la cúpula pentagonal o sòlid de Johnson J₅ |url=https://www.problemasyecuaciones.com/geometria3D/volumen/Johnson/J5/calculadora-area-volumen-formulas.html |issn=2659-9899 |consulta= 16 de juliol de 2020 |idioma=es |publicació = [https://www.problemasyecuaciones.com/ Problemas y ecuaciones]}}</ref>
+*El [[volum]] de la cúpula pentagonal de costat <math>L</math> és
-:<math>\begin{align}
- & S=\frac{1}{4}\left[ 20+\sqrt{10\left( 80+31\sqrt{5}+\sqrt{2175+950\sqrt{5}} \right)} \right]a^{2} \\
+:<math>V = \frac{L^3}{6}\cdot (5+4\sqrt{5}) \approx L^3 \cdot 2.32405</math><ref name="pye"></ref>
+*L'[[altura]] de la cúpula pentagonal de costat <math>L</math> és
- & V=\frac{1}{6}\left( 5+4\sqrt{5} \right)a^{3} \\
+:<math>h = L\cdot \sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{10}} \approx L\cdot 0.52573</math><ref name="pye"></ref>
-\end{align}</math>
+*El [[circumradi]] de la cúpula pentagonal de costat <math>L</math> és
+:<math>R = L\cdot \left(\frac{1}{2}\sqrt{11+4\sqrt{5}}\right) \approx L\cdot 2.23295</math><ref>[[Stephen Wolfram]], "[http://www.wolframalpha.com/input/?i=Pentagonal+cupola Pentagonal cupola]" from [[Wolfram Alpha]]. [Consulta: 11 abril 2020].</ref>
 == Desenvolupament pla ==
@@ Línia 32: / Línia 34: @@
 == Referències ==
+{{referències}}
-*Norman W. Johnson, "Convex Solids with Regular Faces", Canadian Journal of Mathematics, '''18''', 1966, pages 169–200. Conté l'enumeració original dels 92 sòlids i la conjectura que no n'hi ha d'altres.
 *Victor A. Zalgaller, "Convex Polyhedra with Regular Faces", 1969 : primera demostració d'aquesta conjectura.
 *Eric W. Weisstein. [http://mathworld.wolfram.com/JohnsonSolid.html Johnson Solid : cada sòlid amb el seu desenvolupament]