Vés al contingut

Trapezi

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
Per a altres significats, vegeu «Trapezi (desambiguació)».
Infotaula de polítopTrapezi
Trapezi
Tipusquadrilàter convex i quadrilàter Modifica el valor a Wikidata
Forma de les caresaresta (4) Modifica el valor a Wikidata
Més informació
MathWorldTrapezoid Modifica el valor a Wikidata

Un trapezi és un quadrilàter simple i convex amb com a mínim dos costats paral·lels. Aquests costats paral·lels s'anomenen les bases del trapezi, i els costats no paral·lels (si n'hi ha) són els costats o arestes laterals.[1]

Classificació

[modifica]

Els trapezis solen classificar-se segons diversos criteris, en general no excloents.

Segons els angles

[modifica]
Trapezis segons els seus angles: rectangle, acutangle i obtusangle.

Un trapezi té quatre angles interiors, la suma dels quals és sempre 2π (i.e. 360°).

  • Si té dos angles rectes adjacents, s'anomena trapezi rectangle.[2] Si té un tercer angle també recte, aleshores el quart angle també ho és i el trapezi és un rectangle.
  • Si té dos angles obtusos no adjacents (i, per tant, també dos angles aguts no adjacents), s'anomena trapezi obtusangle.
  • Si té dos angles aguts adjacents (i com a resultat també dos angles obtusos adjacents), s'anomena trapezi acutangle. En aquest cas, els angles aguts sempre seran a banda i banda de la base major del trapezi i els obtusos a banda i banda de la base menor.

Segons els costats

[modifica]
  • Si no hi ha cap parell de costats de la mateixa longitud, s'anomena trapezi escalè.
  • Si els dos costats paral·lels tenen la mateixa longitud, s'anomena trapezi isòsceles. En aquest cas, els seus angles són iguals dos a dos (els dos angles d'una mateixa base són iguals entre ells).[3] A més, les seves dues diagonals tenen la mateixa longitud. Els trapezis isòsceles són sempre acutangles. El grup de simetria d'un triangle isòsceles és sempre el grup diedral D₂.
    Trapezi tangencial. El dibuix mostra la circumferència inscrita (línia discontínua), els vèrtexs, els punts de tangència i l'incentre.
    • En particular, si un tercer costat té la mateixa longitud que els costats paral·lels s'anomena trapezoide trisòsceles o trapezoide trilateral.
  • Si tots els seus costats són iguals, és un quadrat.

Altres classificacions

[modifica]
  • Si el trapezi té els seus costats paral·lels dos a dos, s'anomena paral·lelogram.
  • Si existeix una circumferència inscrita al trapezi (és a dir, una circumferència tangent a tots els costats del trapezi) s'anomena trapezi tangencial.

Caracterització

[modifica]

Donat un quadrilàter convex Q, les següents afirmacions són equivalents:[4]

  • Que és un trapezi.
  • Que té dos angles adjacents que són suplementaris.
  • L'angle entre un costat i una diagonal és igual a l'angle entre el costat oposat i la mateixa diagonal.
  • Les seves diagonals el tallen en 4 triangles de manera que els triangles oposats tenen la mateixa àrea.
  • El producte de les àrees dels triangles formats en partir Q per una diagonal és independent de la diagonal triada.
  • Siguin T1 T₂ dos triangles oposats d'entre els obtinguts en tallar Q per les dues diagonals. Es compleix
  • El punt mitjà de cadascun de dos costats oposats i el punt de tall de les diagonals estan alineats.
  • Siguin α, β, γ i δ els quatre angles interiors de Q de manera que α i γ són oposats, es compleix
  • La suma dels cosinus de dos angles adjacents és zero, i la suma dels cosinus dels dos altres angles adjacents també és zero.
  • La suma de les cotangents de dos angles adjacents és zero, i la suma de les cotangents dels dos altres angles adjacents també és zero.
  • Existeix una bimediana que parteix Q en dos quadrilàters d'àrees iguals.

Mesures elementals

[modifica]

Donat un trapezi de bases i , amb , i costats laterals i , es tenen els valors següents: L'altura es pot calcular com:

L'àrea es pot trobar a partir de la fórmula:

La longitud del segment mitjà del trapezi (el segment que uneix els punts mitjans dels costats laterals, i que, per tant, és paral·lel a les bases) es calcula amb la fórmula següent:

El baricentre o centre de massa del trapezi de bases està situat en el segment que uneix els punts mitjans de les seves bases, a una distància perpendicular expressada per:[5]

Diagonals

[modifica]

Donat un trapezi de bases i , amb , i de costats laterals i . Les longituds de les seves diagonals són:[6]

A més, sigui la intersecció entre les dues diagonals, siguin i els vèrtexs d'una de les bases i siguin i els vèrtexs de l'altra es compleix sempre que:[6]

Amb la mateixa nomenclatura de punts esmentada, sigui el segment inscrit al trapezi i paral·lel a les bases que passa per , es compleix que la longitud de és la mitjana harmònica dels costats laterals,[7] és a dir que

Aplicacions

[modifica]

Diversos fenòmens i formes de la natura són modelitzables a partir d'un trapezi. A més, el trapezi es fa servir àmpliament en enginyeria i arquitectura. D'entre les aplicacions esmentades en destaquen, per àrea, les següents:

Anatomia humana

[modifica]

En anatomia humana prenen el nom del trapezi, per la seva forma, un os de la mà i un múscul de les extremitats superiors.

Arquitectura

[modifica]
El Temple de Dendur, conservat al Metropolitan Museum of Art de Nova York.

En arquitectura, el terme es fa servir per referir-se a portes, finestres i edificis simètrics construïts més amples a la base, afilant-se cap a la part superior, a l'estil egipci. Si aquests tenen costats rectes i cantonades angulars, les seves formes solen ser trapezis isòsceles. Aquesta forma apareix ja en l'arquitectura de l'Antiguitat, i era per exemple l'estil estàndard per a les portes i finestres de l'arquitectura inca.[8]

Astronomia

[modifica]

El cúmul del Trapezi, al centre de la nebulosa d'Orió, que pren el nom de l'asterisme de quatre estrelles relativament brillants que conté —en una forma que recorda a un trapezi.

Biologia

[modifica]

Més enllà dels usos en anatomia ja esmentats, àrees de la biologia com la morfologia, la taxonomia i altres disciplines descriptives usen el terme en situacions diverses. En taxonomia en trobem com a exemples la subfamília dels trapezitins, el gènere dels trapezites o la família trapèzids. En morfologia, elements com el protòrax d'alguns insectes es presenten en formes similars a trapezis.

Enginyeria

[modifica]

En enginyeria, i especialment en arquitectura de computadors, els trapezis s'empren per a representar els multiplexors.

Teoria de nombres

[modifica]
Representació en forma de trapezi del nombre 15, un nombre trapezoïdal (15 = 4 + 5 + 6).

En la branca matemàtica de la teoria de nombres s'anomenen nombres trapezoïdals aquells nombres naturals que es poden escriure com la suma de dos o més nombres naturals majors que u.

Referències

[modifica]

  1. «trapezi». Gran Enciclopèdia Catalana. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.
  2. Weisstein, Eric W. «Right Trapezoid» (en anglès). [Consulta: 27 gener 2023].
  3. Weisstein, Eric W. «Isosceles Trapezoid» (en anglès). [Consulta: 27 gener 2023].
  4. Josefsson, Martin. Characterizations of Trapezoids (tesi) (en anglès). 
  5. «Centroid, Area, Moments of Inertia, Polar Moments of Inertia, & Radius of Gyration of a General Trapezoid». [Consulta: 7 febrer 2023].
  6. 6,0 6,1 Weisstein, Eric W. «Trapezoid» (en anglès). [Consulta: 27 gener 2023].
  7. «Math Education Geometry Problem 747: Trapezoid, Diagonals, Parallel, Bases, Midpoint, Similarity, Harmonic Mean. Level: High School, Honors Geometry, College, Mathematics Education. Distance learning.». [Consulta: 3 febrer 2023].
  8. «Machu Picchu Lost City of the Incas - Inca Geometry.». [Consulta: 13 febrer 2018].