Trapezi

Trapezi

Trapezi
Tipus	quadrilàter convex
Forma de les cares	aresta (4)
Més informació
MathWorld	Trapezoid

Un trapezi és un quadrilàter simple i convex amb com a mínim dos costats paral·lels. Aquests costats paral·lels s'anomenen les bases del trapezi, i els costats no paral·lels (si n'hi ha) són els costats o arestes laterals.

Classificació

Els trapezis solen classificar-se segons diversos criteris, en general no excloents.

Segons els angles

Trapezis segons els seus angles: rectangle, acutangle i obtusangle.

Un trapezi té quatre angles interiors, la suma dels quals és sempre 2π (i.e. 360°).

• Si té dos angles rectes adjacents, s'anomena trapezi rectangle. Si té un tercer angle també recte, aleshores el quart angle també ho és i el trapezi és un rectangle.
• Si té dos angles obtusos no adjacents (i, per tant, també dos angles aguts no adjacents), s'anomena trapezi obtusangle.
• Si té dos angles aguts adjacents (i com a resultat també dos angles obtusos adjacents), s'anomena trapezi acutangle. En aquest cas, els angles aguts sempre seran a banda i banda de la base major del trapezi i els obtusos a banda i banda de la base menor.

Segons els costats

• Si no hi ha cap parell de costats de la mateixa longitud, s'anomena trapezi escalè.
• Si els dos costats paral·lels tenen la mateixa longitud, s'anomena trapezi isòsceles. En aquest cas, els seus angles són iguals dos a dos (els dos angles d'una mateixa base són iguals entre ells). A més, les seves dues diagonals tenen la mateixa longitud. Els trapezis isòsceles són sempre acutangles. El grup de simetria d'un triangle isòsceles és sempre el grup diedral D₂.
  • En particular, si un tercer costat té la mateixa longitud que els costats paral·lels s'anomena trapezoide trisòsceles o trapezoide trilateral.
• Si tots els seus costats són iguals, és un quadrat.

Altres classificacions

• Si el trapezi té els seus costats paral·lels dos a dos, s'anomena paral·lelogram.
• Si existeix una circumferència inscrita al trapezi (és a dir, una circumferència tangent a tots els costats del trapezi) s'anomena trapezi tangencial.

  

  Trapezi tangencial. El dibuix mostra la circumferència inscrita (línia discontínua), els vèrtexs, els punts de tangència i l'incentre.

Caracterització

Donat un quadrilàter convex Q, les següents afirmacions són equivalents:

• Que és un trapezi.
• Que té dos angles adjacents que són suplementaris.
• L'angle entre un costat i una diagonal és igual a l'angle entre el costat oposat i la mateixa diagonal.
• Les seves diagonals el tallen en 4 triangles de manera que els triangles oposats tenen la mateixa àrea.
• El producte de les àrees dels triangles formats en partir Q per una diagonal és independent de la diagonal triada.
• Siguin T₁ T₂ dos triangles oposats d'entre els obtinguts en tallar Q per les dues diagonals. Es compleix ${\sqrt {{\text{Àrea}}(Q)}}={\sqrt {{\text{Àrea}}(T_{1})}}+{\sqrt {{\text{Àrea}}(T_{2})}}$
• El punt mitjà de cadascun de dos costats oposats i el punt de tall de les diagonals estan alineats.
• Siguin α, β, γ i δ els quatre angles interiors de Q de manera que α i γ són oposats, es compleix $\sin {\alpha }\sin {\gamma }=\sin {\beta }\sin {\delta }$
• La suma dels cosinus de dos angles adjacents és zero, i la suma dels cosinus dels dos altres angles adjacents també és zero.
• La suma de les cotangents de dos angles adjacents és zero, i la suma de les cotangents dels dos altres angles adjacents també és zero.
• Existeix una bimediana que parteix Q en dos quadrilàters d'àrees iguals.

Mesures elementals

Donat un trapezi de bases $a$ i $b$, amb $a\leq b$, i costats laterals $c$ i $d$, es tenen els valors següents: L'altura $h$ es pot calcular com:

$h={\frac {\sqrt {4(a-c)^{2}d^{2}-[d^{2}+(a-c)^{2}-b^{2}]^{2}}}{2(a-c)}}$

L'àrea $A$ es pot trobar a partir de la fórmula:

$A={\frac {(a+b)h}{2}}$

La longitud del segment mitjà $m$ del trapezi (el segment que uneix els punts mitjans dels costats laterals, i que, per tant, és paral·lel a les bases) es calcula amb la fórmula següent:

$m={\frac {a+b}{2}}$

El baricentre o centre de massa del trapezi de bases està situat en el segment que uneix els punts mitjans de les seves bases, a una distància perpendicular $l$ expressada per:

$l={\frac {h}{3}}\cdot {\frac {2a+b}{a+b}}$

Diagonals

Donat un trapezi de bases $a$ i $b$, amb $a<b$, i de costats laterals $c$ i $d$. Les longituds de les seves diagonals són:

${L}_{1}={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{b-a}}},$

${L}_{2}={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2}}{b-a}}}$

A més, sigui $O$ la intersecció entre les dues diagonals, siguin $A$ i $B$ els vèrtexs d'una de les bases i siguin $C$ i $D$ els vèrtexs de l'altra es compleix sempre que:

${\text{Àrea}}(AOD)={\text{Àrea}}(BOC)$

Amb la mateixa nomenclatura de punts esmentada, sigui $M$ el segment inscrit al trapezi i paral·lel a les bases que passa per $O$, es compleix que la longitud de $M$ és la mitjana harmònica dels costats laterals, és a dir que

${\frac {1}{\lVert M\rVert }}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\lVert AD\rVert }}+{\frac {1}{\lVert BC\rVert }}\right)$

Aplicacions

Diversos fenòmens i formes de la natura són modelitzables a partir d'un trapezi. A més, el trapezi ha estat utilitzat àmpliament en enginyeria i arquitectura. D'entre les aplicacions esmentades en destaquen, per àrea, les següents:

Anatomia humana

En anatomia humana prenen el nom del trapezi, per la seva forma, un os de la mà i un múscul de les extremitats superiors.

Arquitectura

El Temple de Dendur, conservat al Metropolitan Museum of Art de Nova York.

En arquitectura, el terme es fa servir per referir-se a portes, finestres i edificis simètrics construïts més amples a la base, afilant-se cap a la part superior, a l'estil egipci. Si aquests tenen costats rectes i cantonades angulars, les seves formes solen ser trapezis isòsceles. Aquesta forma apareix ja en l'arquitectura de l'Antiguitat, i era per exemple l'estil estàndard per a les portes i finestres de l'arquitectura inca.

Astronomia

El cúmul del Trapezi, al centre de la nebulosa d'Orió, que pren el nom de l'asterisme de quatre estrelles relativament brillants que conté —en una forma que recorda a un trapezi.

Biologia

Més enllà dels usos en anatomia ja esmentats, àrees de la biologia com la morfologia, la taxonomia i altres disciplines descriptives usen el terme en situacions diverses. En taxonomia en trobem com a exemples la subfamília dels trapezitins, el gènere dels trapezites o la família trapèzids. En morfologia, elements com el protòrax d'alguns insectes es presenten en formes similars a trapezis.

Enginyeria

En enginyeria, i especialment en arquitectura de computadors, els trapezis s'empren per a representar els multiplexors.

Teoria de nombres

Representació en forma de trapezi del nombre 15, un nombre trapezoïdal (15 = 4 + 5 + 6).

En la branca matemàtica de la teoria de nombres s'anomenen nombres trapezoïdals aquells nombres naturals que es poden escriure com la suma de dos o més nombres naturals majors que u.

Referències

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Trapezi

Viccionari