Incentre

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Incentre i exincentres[modifica | modifica el codi]

L'incentre d'un triangle és el punt on es tallen les bisectrius dels seus angles. Els punts de tall de les bisectrius exteriors amb les interiors s'anomenen exincentres o excentres del triangle. L'incentre sempre és interior al triangle i els exincentres li són exteriors.

Incentre i exincentres , i , d'un triangle

Existència i posició[1][modifica | modifica el codi]

Incentre[modifica | modifica el codi]

Sigui el triangle i considerem les bisectrius dels angles i .

  • Vegem primer que aquestes bisectrius es tallen: com que , tenim que i, per tant, . Ara, el cinquè postulat d'Euclides demana que les bisectrius es tallin en un punt , situat en el semiplà definit pel costat que conté els angles i , és a dir, el semiplà que conté el triangle . De la mateixa manera, les bisectrius dels angles i es tallen en un punt del semiplà definit pel costat que conté el triangle i les bisectrius dels angles i es tallen en un punt del semiplà definit pel costat que conté el triangle .
  • Ara trobem on es tallen: l'angle , que conté la seva bisectriu, és la intersecció de dos semiplans: el determinat per la recta que conté el vèrtex i el determinat per la recta que conté el vèrtex . Igualment, l'angle , que conté la seva bisectriu, és la intersecció de dos semiplans: el determinat per la recta que conté el vèrtex i el determinat per la recta que conté el vèrtex . En conseqüència, el punt d'intersecció de les bisectrius és a la intersecció d'aquests dos semiplans i de semiplà del paràgraf anterior, és a dir, a l'interior del triangle . De la mateixa manera, qualsevol altra parella de bisectrius també es tallen en un punt interior del triangle .
  • Finalment, el punt , com que pertany a la bisectriu de l'angle , equidista dels seus costats i i, com que pertany a la bisectriu de l'angle , equidista dels seus costats i . En conseqüència, el punt equidista dels costats i de l'angle i, per tant, pertany a la bisectriu de l'angle . Les tres bisectrius del triangle es tallen, doncs, en el punt , que és l'incentre del triangle .

Exincentres[modifica | modifica el codi]

Ara considerem les bisectrius exteriors dels angles i , és a dir, les bisectrius dels angles i i la bisectriu interior de l'angle .

  • Com que , tenim que i, novament segons el cinquè postulat d'Euclides, les bisectrius dels angles i es tallen en un punt del semiplà determinat pel costat que no conté el triangle . Igualment, qualsevol altra parella de bisectrius exteriors es tallen en un punt exterior al triangle .
  • L'angle determinat pel costat i la prolongació del costat és la intersecció del semiplà definit per la recta que no conté el triangle i el semiplà definit per la recta que sí conté el triangle. En particular, la bisectriu d'aquest angle és a aquest darrer semiplà. De la mateixa manera, la bisectriu de l'angle determinat pel costat i la prolongació del costat és al semiplà definit per la recta que sí conté el triangle. Per tant, el punt d'intersecció de les dues bisectrius és a la intersecció dels dos semiplans, és a dir, a l'interior de l'angle .
  • També, , o sigui que i, com que, , resulta i, altra vegada, del cinquè postulat d'Euclides, deduïm que les bisecrius dels angles i es tallen en un punt del semiplà determinat pel costat que no conté el triangle i a l'interior de l'angle . Interseccions similars existeixen per a cada parella de bisectriu exterior i de bisectriu interior de vèrtexs diferents del triangle.
  • Però el punt equidista de la recta i de la recta , perquè pertany a la bisectriu de l'angle . També equidista de la recta i de la recta , perquè pertany a la bisectriu de l'angle . En conseqüència, equidista de les rectes i , com que jau a l'interior de l'angle , és de la bisectriu d'aquest angle . Les dues bisectrius exteriors corresponents als vèrtexs i i la bisectriu interior de l'angle es tallen en el punt , a l'exterior del triangle , però a l'interior de l'angle . Aquest punt és un exincentre del triangle i, de la mateixa manera, en resulta l'existència i posició dels altres dos exincentres, i .
Les bisectrius interiors d'un triangle com a línies cevisnes.

Les bisectrius com a cevianes[modifica | modifica el codi]

Les bisectrius d'un triangle són línies cevianes. Segons el teorema de la bisectriu hi ha proporcionalitat entre els costats d'un angle d'un triangle i els dos segments en què la bisectriu d'aquest angle divideix el costat oposat. Aleshores,

Aleshores,

i, segons el teorema de Ceva, les tres bisectrius es tallen en un punt: l'incentre del triangle. Un ús similar dels teoremes de la bisectriu i de Ceva amb les bisectrius exteriors i interiors mostra l'existència dels exincentres.

Coordenades de l'incentre[modifica | modifica el codi]

Les coordenades cartesianes de l'incentre són una mitjana ponderada de les coordenades dels tres vèrtexs. Si els tres vèrtexs són , , i , els vectors posició respectius són , i , i els costats oposats del triangle tenen com a longituds , , i , llavors el vector posició de l'incentre és

i l'incentre és a

En efecte,

  • Pel teorema de la bisectriu, aplicat a les bisectrius dels angles i ,

que dóna

  • Pels vectors i tenim:
  • Pels vectors i hi ha nombres reals i amb i . Aleshores, tot expressant el vector d'aquestes dues maneres, i , tenim:
  • Ara, la independència lineal dels vectors i demana que
  • Finalment,

Circumferències inscrita i exinscrites a un triangle[modifica | modifica el codi]

Circumferència inscrita i circumferències exinscrites , i al triangle

Com que l'incentre d'un triangle equidista dels seus costats , i , els tres segments perpendiculars a cadascun dels costats tirats des de l'incentre són iguals i són radis d'una circumferència amb centre a l'incentre i tangent a cadascun dels costats del triangle en els peus d'aquestes perpendiculars. Aquesta circumferència és la circumferència inscrita al triangle (també: cercle inscrit o incircle).

El mateix s'esdevé amb els exincentres, que són els respectius centres de tres circumferències tangents a un costat i les prolongacions dels altres dos, a l'exterior del triangle. Aquestes circumferències són les circumferències exinscrites al triangle (també: cercles exinscrits, exincercles o excercles).

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Puig Adam, 1972, p. 92 i 93.

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

  1. Coxeter, Harold Scott MacDonald; Greitzer, Samuel L. Geometry Revisited (en anglès). Washington D. C. (USA): Mathematical Association of America, 1972. ISBN ISBN-0-88385-619-0. 
  2. Puig Adam, Pedro. Curso de Geometría Métrica (en espanyol). Madrid: Biblioteca Matemática, 1972. 

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Incentre Modifica l'enllaç a Wikidata
A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Incentre Modifica l'enllaç a Wikidata