Espai vectorial quocient

En àlgebra lineal, l' espai vectorial quocient d'un espai vectorial V sobre un subespai N s'obté "col·lapsant" N a zero. L'espai obtingut s'anomena un espai quocient i es nota V /N (es llageix V mòdul N ).

Definició

Formalment, la construcció es fa de la manera següent (Halmos 1974, §21-22). Sia V un espai vectorial sobre un cos K, i sia N un subespai de V. Es defineix una relació d'equivalència ~ a V establint que x ~ y si x  − y ∈ N. És a dir x està relacionat amb y si un es pot obtenir a partir de l'altre afegint-li un element de N. D'aquesta definició, es pot deduir que qualsevol element de N és equivalent al vector zero; en altres paraules tots els vectors en N corresponen a la classe d'equivalència del vector zero.

La classe d'equivalència de x sovint es nota

[x] = x + N

ja que ve donada per

[x ] = {x + n : n ∈ N }.

L'espai quocient V /N llavors es defineix com V /~, el conjunt de totes els classes d'equivalència per sobre V per ~. La multiplicació per un escalar i l'addició es defineixen en les classes d'equivalència per

• α;[x] = [α;x] per a tot α; ∈ K, i
• [x] + [y] = [x +y].

No és dificil comprovar que aquestes operacions estan ben definides (és a dir no depenen de l'elecció del representant). Aquestes operacions converteixen l'espai quocient V/N a un espai vectorial sobre K on N és la classe zero, [0].

La aplicació que associa a v ∈ V la classe d'equivalència [v] es coneix com l' aplicació quocient.

Exemples

Sia X  = R² el pla cartesià estàndard, i sia Y una línia que passa er l'origen de X. Llavors l'espai quocient X/Y es pot identificar amb l'espai de totes les línies en X que són paral·lels a Y. És a dir que, els elements del conjunt X/Y són línies en X paral·lel a Y. Això dóna una via per visualitzar espais quocient geomètricament.

Un altre exemple és el quocient de Rⁿ pel subespai generat pels m primers vectors de base estàndard. L'espai Rⁿ consisteix en totes les n -tuples de nombres reals ( x ₁,…,x _n). El subespai, identificat amb R^m, consta de totes les n -tuples tals que només les primeres m components són diferents de zero: ( x ₁,…,x _m ,0,0,…,0). Dos vectors de Rⁿ pertanyen a la mateixa classe de congruència mòdul el subespai si i només si són idèntics en les últimes n −m coordenades. L'espai quocient Rⁿ/ R^m és isomorf a R^{n −m} de forma òbvia.

Més generalment, si V és una suma directa (interna) de subespais U i W:

$V=U\oplus W$

llavors l'espai quocient V/U és naturalment isomorf a W (Halmos 1974, Theorem 22.1).

Propietats

There is a natural epimorphism from V to the quotient space V/U given by sending x to its equivalence class [x]. The kernel (or nullspace) of this epimorphism is the subspace U. This relationship is neatly summarized by the short exact sequence

Hi ha un epimorfisme natural de V a l'espai quocient V /U donat enviant x a la seva classe d'equivalència [x ]. El nucli (o nullspace) d'aquest epimorfisme és el subespai U . Aquesta relació és polidament resumida per la seqüència exacta curta

$0\to U\to V\to V/U\to 0.\,$

If U is a subspace of V, the dimension of V/U is called the codimension of U in V. Since a basis of V may be constructed from a basis A of U and a basis B of V/U by adding a representative of each element of B to A, the dimension of V is the sum of the dimensions of U and V/U. If V is finite-dimensional, it follows that the codimension of U in V is the difference between the dimensions of V and U (Halmos 1974, Theorem 22.2):

Si U és un subespai de V, la dimensió de V /U és anomenat el codimensió de U en V . Des d'una base de V pot ser construït des d'una base A de U i una base B de V /U afegint un representant de cada element de B a A, la dimensió de V és la suma de les dimensions de U i V /U . Si V és finit dimensional, segueix que la codimensió de U en V és la diferència entre les dimensions de V i U (Halmos 1974, Theorem 22.2):

$\mathrm {codim} (U)=\dim(V/U)=\dim(V)-\dim(U).$

Let T : V → W be a linear operator. The kernel of T, denoted ker(T), is the set of all x ∈ V such that Tx = 0. The kernel is a subspace of V. The first isomorphism theorem of linear algebra says that the quotient space V/ker(T) is isomorphic to the image of V in W. An immediate corollary, for finite-dimensional spaces, is the rank-nullity theorem: the dimension of V is equal to the dimension of the kernel (the nullity of T) plus the dimension of the image (the rank of T).

Sia T : V → W un operador lineal. El nucli de T, denotat ker(T), és el conjunt de tot x ∈ V tal que Tx = 0. El nucli és un subespai de V . El primer teorema d'isomorfisme d'àlgebra lineal diu que l'espai quocient V /ker(T) és isomorf a la imatge de V en W . Un corol·lari immediat, per a espais finits dimensionals, és el teorema de NUL·LITAT de FILA: la dimensió de V és igual a la dimensió del nucli (el nul·litat de T ) més la dimensió de la imatge (el fila de T ).

The cokernel of a linear operator T : V → W is defined to be the quotient space W/im(T).

El conucli d'un operador lineal T : V → W és definit ser l'espai quocient W /im(T) .

Quocient d'un espai Banach per un subespai

If X is a Banach space and M is a closed subspace of X, then the quotient X/M is again a Banach space. The quotient space is already endowed with a vector space structure by the construction of the previous section. We define a norm on X/M by

Si X és un Espai de BANACH i M és un subespai tancat de X, llavors el quocient X /M és una altra vegada un espai Banach. Ja dota l'espai quocient d'una estructura espacial vectorial la construcció de la secció prèvia. Definim una norma damunt X /M per

$\|[x]\|_{X/M}=\inf _{m\in M}\|x-m\|_{X}.$

The quotient space X/M is complete with respect to the norm, so it is a Banach space.

L'espai quocient X /M és complet respecte a la norma, així és un espai Banach.

Exemples

Let C[0,1] denote the Banach space of continuous real-valued functions on the interval [0,1] with the sup norm. Denote the subspace of all functions f ∈ C[0,1] with f(0) = 0 by M. Then the equivalence class of some function g is determined by its value at 0, and the quotient space C[0,1] / M is isomorphic to R.

Deixi C [0,1] denotar l'espai Banach de funcions genuïnament valorades contínues en l'interval [0,1] amb el sup norma. Denoti el subespai de totes les funcions f ∈ C [0,1] amb f (0) = 0 per M . Llavors la classe d'equivalència d'alguna funció g està determinat al costat del seu valor a les 0, i l'espai quocient C [0,1] / M és isomorf a R.

If X is a Hilbert space, then the quotient space X/M is isomorphic to the orthogonal complement of M.

Si X és un Espai de hilbert, llavors l'espai quocient X /M és isomorf als Complements d'hilbert space#orthogonal i projeccions|complement ortogonal|COMPLEMENT ORTOGONAL|complement ortogonal]] de M .

Generalització a espais localment convexos

The quotient of a locally convex space by a closed subspace is again locally convex (Dieudonné 1970, 12.14.8). Indeed, suppose that X is locally convex so that the topology on X is generated by a family of seminorms {p_α|α∈A} where A is an index set. Let M be a closed subspace, and define seminorms q_&alpha by on X/M

El quocient d'un espai localment convex per un subespai tancat és una altra vegada localment convex (Dieudonné 1970, 12.14.8). En efecte, suposi que X és localment convex de manera que la topologia en X és generat per una família de seminormes {pàg. _α;|α;∈A } on A és un conjunt d'índex. Sia M un subespai tancat, i definir seminormes q _α per en X /M

$q_{\alpha }([x])=\inf _{x\in [x]}p_{\alpha }(x).$

Then X/M is a locally convex space, and the topology on it is the quotient topology.

Llavors X /M és un espai localment convex, i la topologia en això és la topologia de quocient.

If, furthermore, X is metrizable, then so is X/M. If X is a Fréchet space, then so is X/M (Dieudonné 1970, 12.11.3).

Si, a més X és metrizable, llavors així és X /M . Si X és un Espai de FRÉCHET, llavors així és X /M (Dieudonné 1970, 12.11.3).

Vegeu també

• quotient set

• el quocient S'ENDURIA
• quotient group

• grup quocient
• quotient module

• mòdul de QUOCIENT
• quotient space (in topology)

• espai quocient (en la topologia)

Referències

• Halmos, Paul (1974), Finite dimensional vector spaces, Springer, ISBN 978-0387900933.

• Finite dimensional vector spaces. Springer, 1974. ISBN 978-0387900933. .
• Dieudonné, Jean (1970), Treatise on analysis, Volume II, Academic Press.

• Treatise on analysis, Volume II. Academic Press, 1970. .