Ideal primer

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, un ideal primer és un conjunt inclòs en un anell que té unes propietats semblants a les que tenen els nombres primers dins l'anell dels nombres enters. El concepte d'ideal primer té important rellevància, no només dins la pròpia teoria d'anells de l'àlgebra abstracta sinó també en teoria algebraica de nombres i en l'aritmètica modular.

Definició[modifica | modifica el codi]

Hi ha dues definicions molt esteses per aquest concepte. La primera, indica el concepte i diu:

  • Un ideal I d'un anell A es diu que és primer si AI i quan dos ideals J1, J2A compleixen que el seu producte J1J2 està inclòs en I aleshores algun dels dos està també inclòs en I.

Aquesta definició reflecteix el punt de vista històric que va portar als ideals primers com a generalització dels nombres ideals primers, donat que en l'estudi de divisibilitat de ℤ, el concepte «J està inclòs en I» es correspon amb el de «I divideix J. La segona definició és, en canvi, més concisa i diu:

Exemples[modifica | modifica el codi]

Usos[modifica | modifica el codi]

Un àmbit on els ideals primers tenen especial importància és en la geometria algebraica. Allà, el conjunt d'ideals primers d'un anell s'anomena el seu espectre que es converteix en un espai topològic gràcies seguint la definició de la topologia de Zariski.