Nombre doble de Mersenne

En matemàtiques, un nombre doble de Mersenne és un nombre primer de Mersenne de la forma

M_{M_{p}}=2^{2^{p}-1}-1

on p és un nombre primer de Mersenne.

El més petit nombre doble de Mersenne[modifica]

La seqüència de nombres dobles de Mersenne comença^[1]

M_{M_{2}}=M_{3}=7

M_{M_{3}}=M_{7}=127

M_{M_{5}}=M_{31}=2147483647

M_{M_{7}}=M_{127}=170141183460469231731687303715884105727

(successió A077586 a l'OEIS).

Primers dobles de Mersenne[modifica]

Un nombre doble de Mersenne que sigui primer és anomenat primer doble de Mersenne. Com que un nombre de Mersenne M_p és primer si i només si p és primer, (veure primer de Mersenne per una demostració), un nombre doble de Mersenne $M_{M_{p}}$ és primer si i només si M_p és un primer de Mersenne. El primer valor de p pel qual M_p és primer són p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127. D'aquests, $M_{M_{p}}$ és conegut per ser primer per p = 2, 3, 5, 7. Per p = 13, 17, 19, i 31, s'han trobat explícits factors demostrant que els nombres dobles de Mersenne corresponents no són primers. Així, el més petit candidat pel proper primer doble de Mersenne és $M_{M_{61}}$ , o 2^{2305843009213693951} − 1. Essent aproximadament 1.695×10^{694127911065419641}, aquest nombre és massa gran per ser conegut test de primalitat. No hi ha cap factor primer sota de 4×10³³.^[2] No hi ha probablement cap altre primer doble de Mersenne que els quatre coneguts.^[1]^[3]

La conjectura del nombre Catalan–Mersenne[modifica]

Escrit com a $M(p)$ en comptes de $M_{p}$ . Un cas especial de nombres dobles de Mersenne, anomenem la seqüència recursiva definida

2, M(2), M(M(2)), M(M(M(2))), M(M(M(M(2)))), ... (successió A007013 a l'OEIS)

és anomenat com nombres Catalan–Mersenne.^[4] Es diu^[1] que Catalan portà aquesta seqüència després del descobriment de la primalitat de M(127)=M(M(M(M(2)))) per Lucas el 1876.^[5] Catalan va conjecturar que ells, fins a un cert límit, són tots primers.^{[Cal aclariment]}

Tot i que els primers cinc termes (fins a $M(127)$ ) són primers, no hi ha mètode conegut per decidir si algun d'aquests nombre són primers (en un temps raonable) simpplament perquè els nombres en qüestió són massa grans, a menys que la primalitat de M(M(127)) sigui desaprovat.

En la cultura popular[modifica]

En la pel·lícula The Beast with a Billion Backs, el nombre doble de Mersenne $M_{M_{7}}$ és vist breument en "una simple prova de la conjectura de Goldbach". A la pel·lícula, aquest nombre és conegut com un "primer martià".

Vegeu també[modifica]

Referències[modifica]

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 Chris Caldwell, Mersenne Primes: History, Theorems and Lists a la Prime Pages.
↑ Tony Forbes, Una cerca per un factor de MM61. En progrés: 9 Octobre 2008 Arxivat 2009-02-15 a Wayback Machine.. Aquest informe la més alta marca de 204204000000×(10019+1)×(2⁶¹−1), sota 4×10³³. Consultat al 2008-10-22.
↑ I. J. Good. Conjectures sobre nombres de Mersenne. Matemàtiques de la Computació vol. 9 (1955) p. 120-121 [consultat al 2012-10-19]
↑ Weisstein, Eric W., «Catalan-Mersenne Number» a MathWorld (en anglès).
↑ Nouvelle correspondance mathématique vol. 2 (1876), p. 94-96, "Questions proposées" probably collected by the editor. Almost all of the questions are signed by Édouard Lucas as is number 92: "Prouver que 2⁶¹ - 1 et 2¹²⁷ - 1 sont des nombres premiers. (É. L.) (*)." The footnote (indicated by the star) written by the editor Eugène Catalan, is as follows: "(*) Si l'on admet ces deux propositions, et si l'on observe que 2² - 1, 2³ - 1, 2⁷ - 1 sont aussi des nombres premiers, on a ce théorème empirique: Jusqu'à une certaine limite, si 2ⁿ - 1 est un nombre premiere p, 2^p - 1 est une nombre premiere p', 2^p' - 1 est une nombre premiere p", etc. Cette proposition a quelque analogie avec le théorème suviant, énoncé par Fermat, et dont Euler a montré l'inexactitude: Si n est une puissance de 2, 2ⁿ + 1 est une nombre premiere. (E. C.)" http://archive.org/stream/nouvellecorresp01mansgoog#page/n353/mode/2up [retrieved 2012-10-18]

Enllaços externs[modifica]

Weisstein, Eric W., «Double Mersenne Number» a MathWorld (en anglès).
Tony Forbes, Una cerca pel factor de MM61 Arxivat 2009-02-08 a Wayback Machine..
Estat de factorització del nombre doble Mersenne Arxivat 2014-10-15 a Wayback Machine.
Cerca de nombres dobles de Mersennes primers
Operazione Doppi Mersennes

[Caldwell-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 Chris Caldwell, Mersenne Primes: History, Theorems and Lists a la Prime Pages.

[2] Tony Forbes, Una cerca per un factor de MM61. En progrés: 9 Octobre 2008 Arxivat 2009-02-15 a Wayback Machine.. Aquest informe la més alta marca de 204204000000×(10019+1)×(2⁶¹−1), sota 4×10³³. Consultat al 2008-10-22.

[3] I. J. Good. Conjectures sobre nombres de Mersenne. Matemàtiques de la Computació vol. 9 (1955) p. 120-121 [consultat al 2012-10-19]

[4] Weisstein, Eric W., «Catalan-Mersenne Number» a MathWorld (en anglès).

[5] Nouvelle correspondance mathématique vol. 2 (1876), p. 94-96, "Questions proposées" probably collected by the editor. Almost all of the questions are signed by Édouard Lucas as is number 92: "Prouver que 2⁶¹ - 1 et 2¹²⁷ - 1 sont des nombres premiers. (É. L.) (*)." The footnote (indicated by the star) written by the editor Eugène Catalan, is as follows: "(*) Si l'on admet ces deux propositions, et si l'on observe que 2² - 1, 2³ - 1, 2⁷ - 1 sont aussi des nombres premiers, on a ce théorème empirique: Jusqu'à une certaine limite, si 2ⁿ - 1 est un nombre premiere p, 2^p - 1 est une nombre premiere p', 2^p' - 1 est une nombre premiere p", etc. Cette proposition a quelque analogie avec le théorème suviant, énoncé par Fermat, et dont Euler a montré l'inexactitude: Si n est une puissance de 2, 2ⁿ + 1 est une nombre premiere. (E. C.)" http://archive.org/stream/nouvellecorresp01mansgoog#page/n353/mode/2up [retrieved 2012-10-18]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]