Segon axioma de numerabilitat

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Es diu que un espai topològic verifica el segon axioma de numerabilitat (o que és segon numerable o segon comptable) si la seva topologia té una base numerable. En forma abreujada, se sol dir que l'espai és IIAN o ANII.

El ser ANII és una propietat global que limita el nombre d'oberts de la topologia. De fet, es demostra que que si (XT) és ANII, llavors el cardinal de T és menor o igual que el cardinal del continu.

Ser ANII és una propietat hereditària: tot subespai d'un espai ANII també ho és. El producte numerable d'espais ANII és al seu torn ANII.

Exemples[modifica | modifica el codi]

  • L'espai euclidià ℝn amb la seva topologia usual és ANII. Tot i que la base formada per les boles obertes no és numerable, podem arribar a un que sí que ho és: la formada per les boles de ràdio racional i el centre tingui coordenades racionals.
  • La tàctica anterior pot repetir-se en un espai mètric separable (ie que contingui un subconjunt dens numerable A). Com a base n'hi ha prou escollir de nou les boles de ràdio racional centrades en A.