Geometria de l'esfera de Lie

Sophus Lie, el creador de la geometria de l'esfera de Lie i de la correspondència recta-esfera.

La geometria de l'esfera de Lie és una teoria geomètrica del pla o l'espai en què el concepte fonamental és la circumferència o l'esfera. Fou introduída per Sophus Lie al segle XIX. La idea principal que condueix a la geometria de l'esfera de Lie és tractar les rectes (o plans) com a circumferències (o esferes) de radi infinit i tractar els punts del pla (o de l'espai) com a circumferències (o esferes) de radi zero.

L'espai de circumferències en el pla (o esferes a l'espai), incloent punts i rectes (o plans) resulta ser una varietat coneguda com a quàdrica de Lie (una hipersuperfície quàdrica a l'espai projectiu). La geometria de l'esfera de Lie és la geometria de la quàdrica de Lie i les transformacions de Lie que la preserven. Aquesta geometria pot ser difícil de visualitzar perquè les transformacions de Lie no preserven els punts en general: els punts es poden transformar en circumferències (o esferes).

Per treballar-hi, les corbes del pla i les superfícies de l'espai s'estudien a través dels seus aixecaments de contacte, que estan determinats pels seus espais tangents. Això converteix en naturals els conceptes de circumferència osculadora d'una corba i l'esfera osculadora d'una superfície. També permet tractar de manera natural les cíclides de Dupin i obtenir una solució conceptual del problema d'Apol·loni.

La geometria de l'esfera de Lie es pot definir en qualsevol dimensió, però els casos del pla i l'espai tridimensional són els més rellevants. En el cas del pla, Lie observà una semblança notable entre la quàdrica de Lie d'esferes en 3 dimensions i l'espai de rectes d'un espai projectiu de dimensió 3, que és també una hipersuperfície quàdrica d'un espai projectiu de dimensió 5, anomenada la quàdrica de Klein o de Plücker. Aquesta semblança menà Lie a obtenir la seva famosa «correspondència recta-esfera» entre l'espai de rectes i l'espai d'esferes a l'espai tridimensional.

Conceptes bàsics

L'observació clau que duu a la geometria de l'esfera de Lie és que els teoremes de la geometria euclidiana en el pla (resp. a l'espai) que depenen només en els conceptes de circumferències (resp. esferes) i el seu contacte tangencial tenen una formulació més natural en un context més general en què circumferències, rectes i punts (resp. esferes, plans i punts) són tractats en peu d'igualtat. Això s'aconsegueix en tres passos. Primer s'afegeix un punt a l'infinit a l'espai euclidià de manera que les rectes (o plans) es puguin considerar circumferències (o esferes) que passen pel punt a l'infinit (és a dir, que tenen radi infinit). Aquesta extensió és anomenadda geometria inversiva amb automorfismes anomenats «transformacions de Möbius». En segon lloc, els punts són considerats circumferències o esferes de radi zero. Finalment, per motius tècnics, a les circumferències (o esferes), incloent les rectes (o plans) se'ls donen orientacions.

Aquests objectes, és a dir, els punts, circumferències orientades i rectes orientades al pla, o els punts, esferes orientades i plans orientats a l'espai, de vegades reben el nom de cicles o cicles de Lie. Resulta que formen una hipersuperfície quàdrica en un espai projectiu de dimensió 4 o 5, que és anomenada quàdrica de Lie. Les simetries naturals d'aquesta quàdrica formen un grup de transformacions anomenades transformacions de Lie. Aquestes transformacions en general no preserven els punts: són transformacions de la quàdrica de Lie, no del pla o l'espai més el punt a l'infinit. Les transformacions que preserven els punts són precisament les transformacions de Möbius. Les transformacions de Lie que deixen fix el punt a l'infinit són les transformacions de Laguerre en la geometria de Laguerre. Aquests dos subgrups generen el grup de transformacions de Lie, i la seva intersecció són les transformacions de Möbius que deixen fix el punt a l'infinit, anomenades transformacions conformes afins.

Geometria de l'esfera de Lie al pla

La quàdrica de Lie

Definim la quàdrica de Lie al pla a continuació. Sigui R^3,2 l'espai R⁵ de 5-tuples de nombres reals, equipat with the forma bilineal simètrica de signatura (3,2) definida per

$(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\cdot (y_{0},y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})=-x_{0}y_{0}+x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{4}+x_{4}y_{3}.$

Un hperboloide reglat és un anàleg 2-dimensional de la quàdrica de Lie.

L'espai projectiu RP⁴ és l'espai de rectes per l'origen a R⁵ i és l'espai de vectors no nuls x a R⁵ llevat de escalat, on x= (x₀,x₁,x₂,x₃,x₄). La quàdrica de Lie Q corresponent al pla consisteix dels punts [x] de l'espai projectiu representats per vectors x tals que x · x = 0.

Per relacionar això amb la geometria del pla cal fixar una recta orientada. Les coordenades escollides suggereixen utilitzar el punt [1,0,0,0,0] ∈ RP⁴. Llavors, qualsevol punt de la quàdrica de Lie Q pot ser representat per un vector x = λ(1,0,0,0,0) + v, on v és ortogonal a (1,0,0,0,0). Com que [x] ∈ Q, v · v = λ² ≥ 0.

L'espai ortogonal a (1,0,0,0,0) intersecat amb la quàdrica de Lie és l'esfera celeste bidimensional S a l'espai-temps de Minkowski. Això és el pla euclidià amb un punt a l'infinit, que podem escollir que sigui [0,0,0,0,1]: els punts finits (x,y) del pla queden representats, llavors, pels punts [v] = [0,x,y, −1, (x²+y²)/2]; noteu que v · v = 0, v · (1,0,0,0,0) = 0 i v · (0,0,0,0,1) = −1.

Per tant, els punts x = λ(1,0,0,0,0) + v de la quàdrica de Lie amb λ = 0 corresponen a punts a l'espai euclidià estès amb un punt a l'infinit. D'altra banda, els punts x amb λ no nul·la corresponen a circumferències orientades (o rectes orientades, que són circumferències per l'infinit) al pla euclidià. Això és més fàcil de veure en termes de l'esfera celeste S: la circumferència corresponent a [λ(1,0,0,0,0) + v] ∈ Q (amb λ ≠ 0) és el conjunt de punts y ∈ S tals que y · v = 0. La circumferència està orientada perquè v/λ té signe definit; [−λ(1,0,0,0,0) + v] representa la mateixa circumferència amb l'orientació contrària. Així, la reflexió isomètrica x → x + 2 (x · (1,0,0,0,0)) (1,0,0,0,0) indueix una involució ρ de la quàdrica de Lie que inverteix l'orientació de circumferències i rectes, i fixa els punts del pla (incloent l'infinit).

En resum, hi ha una correspondència bijectiva entre els punts a la quàdrica de Lie i cicles al pla, on un cicle és o bé una circumferència (o recta) orientada o bé un punt del pla (o el punt a l'infinit). Els punts es poden pensar com a circumferències de radi zero, però no estan orientats.

Incidència de cicles

Suposem que tenim dos cicles representats pels punts [x], [y] ∈ Q. Llavors, x · y = 0 si i només si els cicles corresponents «es besen», és a dir, coincideixen amb contacte de primer ordre orientat. Si [x] ∈ S ≅ R² ∪ {∞}, això vol dir que [x] està contingut al cicle corresponent a [y]; aquest cas és immediat de la definició d'aquesta circumferència (si [y] correspon a un punt aleshores x · y = 0 si i només si [x] = [y]).

Queda per tant considerar el cas en què ni [x] ni [y] estan continguts a S. Sense pèrdua de generalitat, podem prendre x= (1,0,0,0,0) + v i y = (1,0,0,0,0) + w, on v i w són vectors unitaris a (1,0,0,0,0)^⊥. Així v^⊥ ∩ (1,0,0,0,0)^⊥ i w^⊥ ∩ (1,0,0,0,0)^⊥ són subespais de (1,0,0,0,0)^⊥ de signatura (2,1). Per tant, o bé coincideixen, o bé s'intersequen en un subespai de dimensió 2. En aquest segon cas, l'espai de dimensió 2 pot tenir signatura (2,0), (1,0) o (1,1), de manera que les dues circumferències corresponents a S s'intersequen en zero, un o dos punts respectivament. Així doncs, tenen contacte de primer ordre si i només si el subespai de dimensió 2 és degenerat (té signatura (1,0)), cosa que es compleix si i només si l'espai generat per v i w és degenerat. Per la identitat de Lagrange, això es compleix si i només si (v · w)² = (v · v)(w · w) = 1, és a dir, si i només si v · w = ± 1, que és quan x · y = 1 ± 1. El contacte és orientat si i només si v · w = – 1, és a dir, x · y = 0.

El problema d'Apol·loni

Les vuit solucions del problema d'Apol·loni genèric. Les tres circumferències donades són C1, C2 i C3, de colors vermell, verd i blau, respectivament. Les solucions s'agrupen en quatre parelles, cadascuna amb una circumferència resolutòria rosa i una de negra, que són 1A/1B, 2A/2B, 3A/3B i 4A/4B. Cada parella està en contacte orientat amb C1, C2 i C3 per a una tria adequada d'orientacions; es poden triar les orientacions de quatre maneres diferents, llevat d'inversió de totes les orientacions.

La incidència de cicles en la geometria de l'esfera de Lie permet obtenir una solució simple del problema d'Apol·loni. Aquest problema tracta d'una configuració de tres circumferències diferents (que poden ser punts o rectes): l'objectiu és trobar totes les altres circumferències (incloent punts i rectes) tangents a les tres circumferències donades. Per a qualsevol configuració de circumferències, hi ha com a molt vuit circumferències tangents que resolen el problema.

La solució, usant la geometria de l'esfera de Lie, és la que segueix. S'escull una orientació per a cadasscuna de les tres circumferències donades (hi ha vuit maneres de fer-ho, però només quatre llevat d'inversió de totes tres orientacions). Això defineix tres punts [x], [y], [z] a la quàdrica de Lie Q. Per la incidència de cicles, una solució del problema d'Apol·loni compatible amb les orientacions escollides ve donada per un punt [q] ∈ Q tal que q és ortogonal a x, y i z. Si aquests tres vectors són linealment dependents, aleshores els punts corresponents [x], [y], [z] estan continguts en una recta de l'espai projectiu. Com que una equació quadràtica no trivial té com a molt dues solucions, aquesta recta rau de fet a la quàdrica de Lie, i qualsevol punt [q] en aquesta recta defineix un cicle incident amb [x], [y] i [z]. Així, en aquest cas hi ha infinites solucions.

Si en canvi x, y i z són linealment independents llavors el subespai V ortogonal a tots tres té dimensió 2. Pot tenir signatura (2,0), (1,0) or (1,1), de manera que hi ha zero, una o dues solucions per [q] respectivament. (La signatura no pot ser (0,1) ni (0,2) perquè és ortogonal a un espai que conté més d'una recta nul·la.) En el cas en què el subespai té signatura (1,0), la única solució q està continguda a la varietat engendrada per x, y i z.

La solució general del problema d'Apol·loni s'obté invertint les orientacions d'algunes de les circumferèncieso, equivalentment, considerant els triplets (x,ρ(y),z), (x,y,ρ(z)) i (x,ρ(y),ρ(z)).

Noteu que el triplet (ρ(x),ρ(y),ρ(z)) proporciona les mateixes solucions que (x,y,z), però amb una inversió de totes les orientacions. Per tant, hi ha com a molt 8 circumferències resolutòries del problema d'Apol·loni llevat que totes tres circumferències coincideixin tangencialment en un punt, cas en què hi ha infinites solucions.

Transformacions de Lie

Qualsevol element del grup O(3,2) de transformacions ortogonals de R^3,2 envia qualsevol subespai 1-dimensional nul de R^3,2 a un altre subespai del mateix tipus. Així, el grup O(3,2) actua sobre la quàdrica de Lie. Aquestes transformacions de cicles s'anomenen «transformacions de Lie». Preserven la relació d'incidència entre cicles. L'acció és transitiva i per tant tots els cicles són equivalents per transformacions de Lie. Els punts, d'altra banda, no són preservats en general per les transformaions de Lie. El subgrup de transformacions de Lie que preserven els punts és essencialment el subgrup de transformacions ortogonals que preserven la direcció escollida. Aquest subgrup és isomòrfic al grup O(3,1) de transformacions de Möbius de l'esfera. També pot ser caracteritzat com al centralitzador de la involució ρ, que és ella mateixa una transformació de Lie.

Les transformacions de Lie sovint es poden fer servir per simplificar problemes geomètrics, transformant les circumferències en rectes o punts.

Elements de contacte i aixecaments de contacte

The fact that Lie transformations do not preserve points in general can also be a hindrance to understanding Lie sphere geometry. In particular, the notion of a curve is not Lie invariant. This difficulty can be mitigated by the observation that there is a Lie invariant notion of contact element.

An oriented contact element in the plane is a pair consisting of a point and an oriented (i.e., directed) line through that point. The point and the line are incident cycles. The key observation is that the set of all cycles incident with both the point and the line is a Lie invariant object: in addition to the point and the line, it consists of all the circles which make oriented contact with the line at the given point. It is called a pencil of Lie cycles, or simply a contact element.

Note that the cycles are all incident with each other as well. In terms of the Lie quadric, this means that a pencil of cycles is a (projective) line lying entirely on the Lie quadric, i.e., it is the projectivization of a totally null two dimensional subspace of R^3,2: the representative vectors for the cycles in the pencil are all orthogonal to each other.

The set of all lines on the Lie quadric is a 3-dimensional manifold called the space of contact elements Z³. The Lie transformations preserve the contact elements, and act transitively on Z³. For a given choice of point cycles (the points orthogonal to a chosen timelike vector v), every contact element contains a unique point. This defines a map from Z³ to the 2-sphere S² whose fibres are circles. This map is not Lie invariant, as points are not Lie invariant.

Let γ:[a,b] → R² be an oriented curve. Then γ determines a map λ from the interval [a,b] to Z³ by sending t to the contact element corresponding to the point γ(t) and the oriented line tangent to the curve at that point (the line in the direction γ '(t)). This map λ is called the contact lift of γ.

In fact Z³ is a contact manifold, and the contact structure is Lie invariant. It follows that oriented curves can be studied in a Lie invariant way via their contact lifts, which may be characterized, generically as Legendrian curves in Z³. More precisely, the tangent space to Z³ at the point corresponding to a null 2-dimensional subspace π of R^3,2 is the subspace of those linear maps (A mod π):π → R^3,2/π with

A(x) · y + x · A(y) = 0

and the contact distribution is the subspace Hom(π,π^⊥/π) of this tangent space in the space Hom(π,R^3,2/π) of linear maps.

It follows that an immersed Legendrian curve λ in Z³ has a preferred Lie cycle associated to each point on the curve: the derivative of the immersion at t is a 1-dimensional subspace of Hom(π,π^⊥/π) where π=λ(t); the kernel of any nonzero element of this subspace is a well defined 1-dimensional subspace of π, i.e., a point on the Lie quadric.

In more familiar terms, if λ is the contact lift of a curve γ in the plane, then the preferred cycle at each point is the osculating circle. In other words, after taking contact lifts, much of the basic theory of curves in the plane is Lie invariant.

Geometria de l'esfera de Lie a l'espai i dimensions superiors

Teoria general

Lie sphere geometry in n-dimensions is obtained by replacing R^3,2 (corresponding to the Lie quadric in n = 2 dimensions) by R^{n + 1, 2}. This is R^{n + 3} equipped with the symmetric bilinear form

$(x_{0},x_{1},\ldots x_{n},x_{n+1},x_{n+2})\cdot (y_{0},y_{1},\ldots y_{n},y_{n+1},y_{n+2})$

$=-x_{0}y_{0}+x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}+x_{n+1}y_{n+2}+x_{n+2}y_{n+1}.$

The Lie quadric Q_n is again defined as the set of [x] ∈ RPⁿ⁺² = P(R^n+1,2) with x · x = 0. The quadric parameterizes oriented (n – 1)-spheres in n-dimensional space, including hyperplanes and point spheres as limiting cases. Note that Q_n is an (n + 1)-dimensional manifold (spheres are parameterized by their center and radius).

The incidence relation carries over without change: the spheres corresponding to points [x], [y] ∈ Q_n have oriented first order contact if and only if x · y = 0. The group of Lie transformations is now O(n + 1, 2) and the Lie transformations preserve incidence of Lie cycles.

The space of contact elements is a (2n – 1)-dimensional contact manifold Z^{2n – 1}: in terms of the given choice of point spheres, these contact elements correspond to pairs consisting of a point in n-dimensional space (which may be the point at infinity) together with an oriented hyperplane passing through that point. The space Z^{2n – 1} is therefore isomorphic to the projectivized cotangent bundle of the n-sphere. This identification is not invariant under Lie transformations: in Lie invariant terms, Z^{2n – 1} is the space of (projective) lines on the Lie quadric.

Any immersed oriented hypersurface in n-dimensional space has a contact lift to Z^{2n – 1} determined by its oriented tangent spaces. There is no longer a preferred Lie cycle associated to each point: instead, there are n – 1 such cycles, corresponding to the curvature spheres in Euclidean geometry.

The problem of Apollonius has a natural generalization involving n + 1 hyperspheres in n dimensions.

Tres dimensions i correspondència recta-esfera

In the case n=3, the quadric Q₃ in P(R^4,2) describes the (Lie) geometry of spheres in Euclidean 3-space. Lie noticed a remarkable similarity with the Klein correspondence for lines in 3-dimensional space (more precisely in RP³).

Suppose [x], [y] ∈ RP³, with homogeneous coordinates (x₀,x₁,x₂,x₃) and (y₀,y₁,y₂,y₃). Put p_ij = x_iy_j - x_jy_i. These are the homogeneous coordinates of the projective line joining x and y. There are six independent coordinates and they satisfy a single relation, the Plücker relation

p₀₁ p₂₃ + p₀₂ p₃₁ + p₀₃ p₁₂ = 0.

It follows that there is a one to one correspondence between lines in RP³ and points on the Klein quadric, which is the quadric hypersurface of points [p₀₁, p₂₃, p₀₂, p₃₁, p₀₃, p₁₂] in RP⁵ satisfying the Plücker relation.

The quadratic form defining the Plücker relation comes from a symmetric bilinear form of signature (3,3). In other words, the space of lines in RP³ is the quadric in P(R^3,3). Although this is not the same as the Lie quadric, a "correspondence" can be defined between lines and spheres using the complex numbers: if x = (x₀,x₁,x₂,x₃,x₄,x₅) is a point on the (complexified) Lie quadric (i.e., the x_i are taken to be complex numbers), then

p₀₁ = x₀ + x₁, p₂₃ = –x₀ + x₁

p₀₂ = x₂ + ix₃, p₃₁ = x₂ – ix₁

p₀₃ = x₄ , p₁₂ = x₅

defines a point on the complexified Klein quadric (where i² = –1).

Cícledes de Dupin

Una cíclede de Dupin.

Lie sphere geometry provides a natural description of Dupin cyclides. These are characterized as the common envelope of two one parameter families of spheres S(s) and T(t), where S and T are maps from intervals into the Lie quadric. In order for a common envelope to exist, S(s) and T(t) must be incident for all s and t, i.e., their representative vectors must span a null 2-dimensional subspace of R^4,2. Hence they define a map into the space of contact elements Z⁵. This map is Legendrian if and only if the derivatives of S (or T) are orthogonal to T (or S), i.e., if and only if there is an orthogonal decomposition of R^4,2 into a direct sum of 3-dimensional subspaces σ and τ of signature (2,1), such that S takes values in σ and T takes values in τ. Conversely such a decomposition uniquely determines a contact lift of a surface which envelops two one parameter families of spheres; the image of this contact lift is given by the null 2-dimensional subspaces which intersect σ and τ in a pair of null lines.

Such a decomposition is equivalently given, up to a sign choice, by a symmetric endomorphism of R^4,2 whose square is the identity and whose ±1 eigenspaces are σ and τ. Using the inner product on R^4,2, this is determined by a quadratic form on R^4,2.

To summarize, Dupin cyclides are determined by quadratic forms on R^4,2 such that the associated symmetric endomorphism has square equal to the identity and eigenspaces of signature (2,1).

This provides one way to see that Dupin cyclides are cyclides, in the sense that they are zero-sets of quartics of a particular form. For this, note that as in the planar case, 3-dimensional Euclidean space embeds into the Lie quadric Q₃ as the set of point spheres apart from the ideal point at infinity. Explicitly, the point (x,y,z) in Euclidean space corresponds to the point

[0, x, y, z, –1, (x² + y² + z²)/2]

in Q₃. A cyclide consists of the points [0,x₁,x₂,x₃,x₄,x₅] ∈ Q₃ which satisfy an additional quadratic relation

$\sum _{i,j=1}^{5}a_{ij}x_{i}x_{j}=0$

for some symmetric 5 × 5 matrix A = (a_ij). The class of cyclides is a natural family of surfaces in Lie sphere geometry, and the Dupin cyclides form a natural subfamily.

Vegeu també

• Teorema de Descartes, també pot suposar considerar una recta com a circumferència de radi infinit.

Bibliografia

• Blaschke, Wilhelm «Vorlesungen über Differentialgeometrie. Differentialgeometrie der Kreise und Kugeln». Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Springer, 3, 1929.
• Cecil, Thomas E. Lie sphere geometry. Universitext, Springer-Verlag, New York, 1992. ISBN 978-0-387-97747-8. .
• Helgason, Sigurdur «Sophus Lie, the Mathematician». Proceedings of The Sophus Lie Memorial Conference, Oslo, August, 1992. Scandinavian University Press [Oslo], 1994, pàg. 3–21.
• Knight, Robert D. «The Apollonius contact problem and Lie contact geometry». Journal of Geometry. Birkhäuser [Basilea], 83, 1-2, 2005, pàg. 137–152. DOI: 10.1007/s00022-005-0009-x. ISSN: 0047-2468.
• Zlobec, Borut Jurčič; Mramor Kosta, Neža «Configurations of cycles and the Apollonius problem». Rocky Mountain Journal of Mathematics, 31, 2, 2001, pàg. 725–744. DOI: 10.1216/rmjm/1020171586. ISSN: 0035-7596.

Bibliografia complementària

• «Ueber Complexe, insbesondere Linien- und Kugel-complexe, mit Anwendung auf die Theorie partieller Differentialgleichungen». Math. Ann., 5, 1872, pàg. 145-208.. Article principal de Lie sobre el tema.