Extensió de Galois: diferència entre les revisions

Contingut suprimit Contingut afegit

En línia

Revisió del 20:19, 21 maig 2022

En matemàtiques, en àlgebra abstracta, una extensió de Galois és una extensió de cos algebraica $E/F$ que és normal i separable;^[1] o de manera equivalent, $E/F$ és algebraica i el camp fixat pel grup d'automorfismes $\operatorname {Aut} (E/F)$ és precisament el cos base $F$ .

La importància de ser una extensió de Galois és que l'extensió té un grup de Galois i obeeix al teorema fonamental de la teoria de Galois.^[a]

Un resultat de Emil Artin permet construir extensions de Galois de la següent manera: si $E$ és un cos donat, i G és un grup finit d'automorfismes de $E$ amb camp fix $F$ , llavors $E/F$ és una extensió de Galois.^[2]

Caracterització de les extensions de Galois

Un teorema important d'Emil Artin afirma que per a una extensió finita $E/F,$ cadascuna de les afirmacions següents és equivalent a l'enunciat que $E/F$ és Galois:

$E/F$ és una extensió normal i una extensió separable.
$E$ és un cos de descomposició d'un polinomi separable amb coeficients en $F.$
$|\!\operatorname {Aut} (E/F)|=[E:F],$ és a dir, el nombre d'automorfismes és igual al grau de l'extensió.

Altres declaracions equivalents són:

Tots els polinomis irreductibles a $F[x]$ amb almenys una arrel a $E$ es divideixen en $E$ i són separables.
$|\!\operatorname {Aut} (E/F)|\geq [E:F],$ és a dir, el nombre d'automorfismes és almenys el grau d'extensió.
$F$ és el cos fix d'un subgrup de $\operatorname {Aut} (E).$
$F$ és el cos fix de $\operatorname {Aut} (E/F).$
Hi ha un correspondència un a un entre subcossos de $E/F$ i subgrups de $\operatorname {Aut} (E/F).$

Exemples

Hi ha dues maneres bàsiques de construir exemples d'extensions de Galois.

Agafeu qualsevol cos $E$ , qualsevol subgrup de $\operatorname {Aut} (E)$ , i deixeu que $F$ sigui el cos fix.
Agafeu qualsevol cos $F$ , qualsevol polinomi separable a $F[x]$ , i deixeu que $E$ sigui el seu cos de descomposició.

Afegint al cos de nombres racionals l'arrel quadrada de 2 dóna una extensió de Galois, mentre que afegintr l'arrel cúbica de 2 dóna una extensió que no és Galois. Aquestes dues extensions són separables, perquè tenen característica zero. El primer d'ells és el cos de divisió de $x^{2}-2$ ; el segon té tancament normal que inclou el complex arrel cúbica d'unitat, i per tant no és un cos de descomposició. De fet, no té cap automorfisme més que la identitat, perquè està contingut en els nombres reals i $x^{3}-2$ només té una arrel real.

Per a exemples més detallats, vegeu el teorema fonamental de la teoria de Galois.

Una cloenda algebraica ${\bar {K}}$ d'un cos arbitrari $K$ és Galois sobre $K$ si i només si $K$ és un cos perfecte.

Notes

↑ Vegeu en l'article Grup de Galois per a les definicions d'alguns d'aquests termes i exemples.

Referències

↑ Lang, 2002, p. 262.
↑ Lang, 2002, p. 264 (teorema 1.8).

Bibliografia

Artin, Emil. Galois Theory (en anglès). Mineola, NY: Dover Publications, 1998 (1944). ISBN 0-486-62342-4.
Bewersdorff, Jörg. Galois theory for beginners (en anglès). 35. American Mathematical Society, 2006 (Student Mathematical Library). DOI 10.1090/stml/035. ISBN 0-8218-3817-2.
Edwards, Harold M. Galois Theory (en anglès). 101. Nova York: Springer-Verlag, 1984 (Graduate Texts in Mathematics). ISBN 0-387-90980-X.
Funkhouser, H. Gray «A short account of the history of symmetric functions of roots of equations» (en anglès). American Mathematical Monthly, 37(7), 1930. DOI: 10.2307/2299273. JSTOR: 2299273.
Jacobson, Nathan. Basic Algebra I (en anglès). W.H. Freeman and Company, 1985. ISBN 0-7167-1480-9.
Janelidze, G; Borceux, Francis. Galois theories (en anglès). Cambridge University Press, 2001. ISBN 978-0-521-80309-0.
Lang, Serge. Algebraic Number Theory (en anglès). 110. Berlin, Nova York: Springer-Verlag, 1994 (Graduate Texts in Mathematics). DOI 10.1007/978-1-4612-0853-2. ISBN 978-0-387-94225-4.
Postnikov, Mikhail Mikhaĭlovich. Foundations of Galois Theory (en anglès). Dover Publications, 2004. ISBN 0-486-43518-0.
Rotman, Joseph. Galois Theory. Springer, 1998 (Universitext). DOI 10.1007/978-1-4612-0617-0. ISBN 0-387-98541-7.
Völklein, Helmut. Groups as Galois groups: an introduction (en anglès). 53. Cambridge University Press, 1996 (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). DOI 10.1017/CBO9780511471117. ISBN 978-0-521-56280-5.
van der Waerden, Bartel Leendert. Moderne Algebra (en alemany). Berlin: Springer, 1931.

Enllaços externs

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Extensió de Galois

Pop, Florian. «(Some) New Trends in Galois Theory and Arithmetic» (PDF) (en anglès). Penn Arts & Sciencies, 2001.

[2] Vegeu en l'article Grup de Galois per a les definicions d'alguns d'aquests termes i exemples.

[FOOTNOTELang2002262-1] Lang, 2002, p. 262.

[FOOTNOTELang2002264_(teorema_1.8)-3] Lang, 2002, p. 264 (teorema 1.8).

[1]

[a]

[2]

@@ Línia 1: / Línia 1: @@
-En [[àlgebra abstracta]], una [[extensió de cos]] [[Extensió algebraica|algebraica]] E/K es diu '''extensió de Galois''' (o '''extensió galoisiana''') si és una extensió [[Extensió normal|normal]] i [[Extensió separable|separable]]. En aquest cas, es pot considerar el ''grup de Galois'' de l'extensió i sobre ell és vàlida la tesi del Teorema Fonamental de la [[Teoria de Galois]].
+En [[matemàtiques]], en [[àlgebra abstracta]], una '''extensió de Galois''' és una [[extensió de cos]] [[Extensió algebraica|algebraica]] <math>E/F</math> que és[[extensió normal| normal]] i [[extensió separable|separable]]'';''{{sfn|Lang|2002|p=262}} o de manera equivalent, <math>E/F</math> és algebraica i el [[Subanell de punt fix|camp fixat]] pel [[grup d'automorfismes]] <math>\operatorname{Aut}(E/F)</math> és precisament el [[Cos (matemàtiques)|cos]] base <math>F</math>.
+La importància de ser una extensió de Galois és que l'extensió té un [[grup de Galois]] i obeeix al [[teorema fonamental de la teoria de Galois]].{{efn|Vegeu en l'article [[Grup de Galois]] per a les definicions d'alguns d'aquests termes i exemples.}}
-== Definició ==
-Siga l'extensió E sobre un [[cos (matemàtica)|cos]] base K (E/K).
+Un resultat de [[Emil Artin]] permet construir extensions de Galois de la següent manera: si <math>E</math> és un cos donat, i ''G'' és un grup finit d'automorfismes de <math>E</math> amb camp fix <math>F</math>, llavors <math>E/F</math> és una extensió de Galois.{{sfn|Lang|2002|p=264 (teorema 1.8)}}
-* Per ésser [[Extensió normal|normal]], E és el [[cos de descomposició]] d'un polinomi amb coeficients en K; o, equivalentment, les K-[[immersió|immersions]] d'E en un cos algebraicament tancat que continga a K són automorfismes d'E sobre K
+== Caracterització de les extensions de Galois ==
-* Per ésser [[Extensió separable|separable]], aquest polinomi descompon completament en arrels simples.
+Un teorema important d'[[Emil Artin]] afirma que per a una [[Grau d'extensió d'un cos|extensió finita]] <math>E/F,</math> cadascuna de les afirmacions següents és equivalent a l'enunciat que <math>E/F</math> és Galois:
+*<math>E/F</math> és una [[extensió normal]] i una [[extensió separable]].
+*<math>E</math> és un [[cos de descomposició]] d'un [[polinomi separable]] amb coeficients en <math>F.</math>
+*<math>|\!\operatorname{Aut}(E/F)| = [E:F],</math> és a dir, el nombre d'[[Automorfisme|automorfismes]] és igual al [[Extensió de cossos|grau de l'extensió]].
+Altres declaracions equivalents són:
-== Grup de Galois ==
-Sobre una extensió de [[Évariste Galois|Galois]] E/K, se defineix el '''grup de Galois''' ''Gal(E/K)'' com el grup de los [[automorfisme|automorfismes]] d'E sobre K. Per ser E/K [[Extensió normal|normal]], tota K-immersió entre E i Ω és un automorfisme i se té:
+*Tots els [[Polinomi irreductible|polinomis irreductibles]] a <math>F[x]</math> amb almenys una [[Arrel d'una funció|arrel]] a <math>E</math> es divideixen en <math>E</math> i són separables.
-<math>Gal(E/K)=Aut_K(E)=\lbrace\sigma : E\rightarrow\bar K : \sigma \mbox{ } K-\mbox{inmersion}\rbrace</math><br />
+*<math>|\!\operatorname{Aut}(E/F)| \geq [E:F],</math> és a dir, el nombre d'automorfismes és almenys el grau d'extensió.
+*<math>F</math> és el cos fix d'un subgrup de <math>\operatorname{Aut}(E).</math>
+*<math>F</math> és el cos fix de <math>\operatorname{Aut}(E/F).</math>
+*Hi ha un [[Teorema fonamental de la teoria de Galois|correspondència]] un a un entre subcossos de <math>E/F</math> i subgrups de <math>\operatorname{Aut} (E/F).</math>
+== Exemples ==
+Hi ha dues maneres bàsiques de construir exemples d'extensions de Galois.
+* Agafeu qualsevol cos <math>E</math>, qualsevol subgrup de <math>\operatorname{Aut}(E)</math>, i deixeu que <math>F</math> sigui el cos fix.
+* Agafeu qualsevol cos <math>F</math>, qualsevol polinomi separable a <math>F[x]</math>, i deixeu que <math>E</math> sigui el seu [[cos de descomposició]].
+[[Extensió de cossos|Afegint]] al cos de [[Nombre racional|nombres racionals]] l'[[arrel quadrada de 2]] dóna una extensió de Galois, mentre que afegintr l'[[arrel cúbica de 2]] dóna una extensió que no és Galois. Aquestes dues extensions són separables, perquè tenen [[Característica|característica zero]]. El primer d'ells és el cos de divisió de <math>x^2 -2</math>; el segon té [[Extensió normal|tancament normal]] que inclou el [[Nombre complex|complex]] [[Arrel de la unitat|arrel cúbica d'unitat]], i per tant no és un cos de descomposició. De fet, no té cap automorfisme més que la identitat, perquè està contingut en els [[Nombre real|nombres reals]] i <math>x^3 -2</math> només té una arrel real.
-sent el cardinal del grup <math>|Gal(E/K)|=|Aut_K(E)|=\lbrack E:K\rbrack</math>.
-{{esborrany de matemàtiques}}
+Per a exemples més detallats, vegeu el [[teorema fonamental de la teoria de Galois]].
+Una [[cloenda algebraica]] <math>\bar K</math> d'un cos arbitrari <math>K</math> és Galois sobre <math>K</math> [[si i només si]] <math>K</math> és un [[cos perfecte]].
-{{ORDENA:Extensio De Galois}}	<!--ORDENA generat per bot-->
+== Notes ==
+{{Notelist}}
+== Referències ==
+{{referències}}
+== Bibliografia ==
+{{Div col|cols=2}}
+* {{ref-llibre|cognom=Artin |nom=Emil |títol=Galois Theory |editorial=Dover Publications |any=1998 (1944) | isbn=0-486-62342-4 |enllaçautor=Emil Artin | mr=1616156 |lloc=Mineola, NY | llengua=anglès}}
+* {{ref-llibre|nom=Jörg |cognom=Bewersdorff |enllaçautor=Jörg Bewersdorff|títol=Galois theory for beginners |editorial=American Mathematical Society |any=2006 | isbn=0-8218-3817-2 | mr=2251389 |col·lecció=Student Mathematical Library |volum=35|doi=10.1090/stml/035 |llengua=anglès}}
+* {{ref-llibre |nom=Harold M |cognom=Edwards |enllaçautor=Harold Edwards (matemàtic) |títol=Galois Theory |editorial=Springer-Verlag |lloc=Nova York |any=1984 | isbn=0-387-90980-X | mr=0743418 |col·lecció=Graduate Texts in Mathematics |volum=101 |llengua=anglès}}
+* {{ref-publicació|nom= H. Gray |cognom=Funkhouser |enllaçautor = Howard G. Funkhouser |article=A short account of the history of symmetric functions of roots of equations |publicació=American Mathematical Monthly |any=1930 |volum= 37(7) | pàginas=357-365 | doi=10.2307/2299273 |llengua=anglès | jstor= 2299273 }}
+* {{ref-llibre|nom=Nathan |cognom=Jacobson|títol=Basic Algebra I |editorial=W.H. Freeman and Company |any=1985 | isbn=0-7167-1480-9 |enllaçautor=Nathan Jacobson |llengua=anglès}}
+* {{ref-llibre|cognom=Janelidze |nom=G |cognom2=Borceux |nom2=Francis |títol=Galois theories |editorial=Cambridge University Press | isbn= 978-0-521-80309-0 |any=2001 |llengua=anglès}}
+* {{ref-llibre|cognom=Lang |nom=Serge | enllaçautor=Serge Lang |títol=Algebraic Number Theory |editorial=Springer-Verlag |lloc=Berlin, Nova York | isbn=978-0-387-94225-4 |any=1994 | mr=1282723 |col·lecció=Graduate Texts in Mathematics |volum=110 | doi= 10.1007/978-1-4612-0853-2 |llengua=anglès}}
+* {{ref-llibre|nom=Mikhail Mikhaĭlovich |cognom=Postnikov |títol=Foundations of Galois Theory |editorial=Dover Publications |any = 2004 | isbn=0-486-43518-0 | mr=2043554 |llengua=anglès}}
+* {{ref-llibre|nom=Joseph |cognom=Rotman |títol =Galois Theory |col·lecció=Universitext | |editorial=Springer|any=1998 | isbn=0-387-98541-7 | mr=1645586 | doi=10.1007/978-1-4612-0617-0 |llenfua=anglès}}
+* {{ref-llibre |cognom=Völklein |nom=Helmut |títol=Groups as Galois groups: an introduction |editorial=Cambridge University Press | isbn=978-0-521-56280-5 |any=1996 |col·lecció=Cambridge Studies in Advanced Mathematics |volum=53 | mr=1405612 | doi=10.1017/CBO9780511471117 |llengua=anglès}}
+* {{ref-llibre|cognom=van der Waerden |nom=Bartel Leendert | enllaçautor=Bartel Leendert van der Waerden |títol=Moderne Algebra |llengua=alemany|editorial=Springer |any=1931 |lloc=Berlin}}
+{{Div col end}}
+== Enllaços externs ==
+{{commonscat}}
+* {{ref-web|títol=(Some) New Trends in Galois Theory and Arithmetic |nom=Florian |cognom=Pop |enllaçautor=Florian Pop|url=http://www.math.upenn.edu/~pop/Research/files-Res/Japan01.pdf |format={{PDF}} |obra= Penn Arts & Sciencies |llengua=anglès| any=2001}}
+{{ORDENA:Extensio De Galois}}
+{{autoritat}}
 [[Categoria:Teoria de cossos]]