Extensió de Galois

En àlgebra abstracta, una extensió de cos algebraica E/K es diu extensió de Galois (o extensió galoisiana) si és una extensió normal i separable. En aquest cas, es pot considerar el grup de Galois de l'extensió i sobre ell és vàlida la tesi del Teorema Fonamental de la Teoria de Galois.

Definició

Siga l'extensió E sobre un cos base K (E/K).

• Per ésser normal, E és el cos de descomposició d'un polinomi amb coeficients en K; o, equivalentment, les K-immersions d'E en un cos algebraicament tancat que continga a K són automorfismes d'E sobre K

• . Per ésser separable, aquest polinomi descompon completament en arrels simples.

Grup de Galois

Sobre una extensió de Galois E/K, se defineix el grup de Galois Gal(E/K) com el grup de los automorfismes d'E sobre K. Per ser E/K normal, tota K-immersió entre E i Ω es un automorfisme i se té:

$Gal(E/K)=Aut_K(E)=\lbrace\sigma : E\rightarrow\bar K : \sigma \mbox{ } K-\mbox{inmersion}\rbrace$

sent el cardinal del grup $|Gal(E/K)|=|Aut_K(E)|=\lbrack E:K\rbrack$.