Derivada aritmètica

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En la teoria de nombres, la derivada aritmètica, o derivada numèrica, és una funció definida per a enters, basada en la seva descomposició en factors primers, per analogia amb la regla de producte de la derivada d'una funció que es fa servir en l'anàlisi.

Definició[modifica | modifica el codi]

Per a nombres naturals es defineix de la manera següent:

Per tal que coincideixi amb la regla del producte 1' es defineix com 0, tal com és 0'. Explícitament, suposant que

x = p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}\textrm{,}

on p_1,\dots, p_k són nombres primers diferents i e_1,\dots, e_k són enters positius. Llavors

x' = \sum_{i=1}^k e_ip_1^{e_1}\cdots p_i^{e_i-1}\cdots p_k^{e_k} = \sum_{i=1}^k \frac{e_i}{p_i} x.

La derivada aritmètica també compleix la regla de la potència (per a nombres primers):

(p^a)' = ap^{a-1}\textrm{,}\!

on p és primer i a és un enter positiu. Per exemple


\begin{align}
81' = (3^4)' & = (9\cdot 9)' = 9'\cdot 9 + 9\cdot 9' = 2[9(3\cdot 3)'] \\
& = 2[9(3'\cdot 3 + 3\cdot 3')] = 2[9\cdot 6] = 108 = 4\cdot 3^3.
\end{align}

La successió de derivades aritmètiques per k = 0, 1, 2... comença (successió A003415 a l'OEIS):

0, 0, 1, 1, 4, 1, 5, 1, 12, 6, 7, 1, 16, 1, 9, ....

E.j. Barbeau va ser el primer a formalitzar aquesta definició. L'estenia a tots els enters demostrant que (-x) ' = -x' defineix univocament la derivada sobre els enters. Barbeau també l'estenia a nombres racionals. Victor Ufnarovski i Bo Åhlander l'estenien a certs irrationals. En aquestes ampliacions, la fórmula de damunt encara s'aplica, però els exponents e_i es permet que siguin nombres racionals arbitraris.

Rellevància per a la teoria de nombres[modifica | modifica el codi]

Ufnarovski and Åhlander have detailed the function's connection to famous number-theoretic conjectures like the twin prime conjecture, the prime triples conjecture, and Goldbach's conjecture. For example, Goldbach's conjecture would imply, for each k > 1 the existence of an n so that n' = 2k. The twin prime conjecture would imply that there are infinitely many k for which k'' = 1.

Ufnarovski i Åhlander han detallat la connexió de la funció a conjectures teòriques de nombre famoses com la conjectura dels nombres primers bessons, la conjectura de nombres primers trigemins, i la Conjectura de Goldbach. Per exemple, la conjectura de Goldbach implicaria, per a cada k > 1 existeix un n de manera que n ' = 2k. La conjectura dels nombres primers bessons implicaria que hi hagi una quantiat infinita de k per als que k '' = 1.

Referències[modifica | modifica el codi]