Derivada aritmètica

En la teoria de nombres, la derivada aritmètica, o derivada numèrica, és una funció definida per a enters, basada en la seva descomposició en factors primers, per analogia amb la regla de producte de la derivada d'una funció que es fa servir en l'anàlisi.

Definició

Per a nombres naturals es defineix de la manera següent:

• $\scriptstyle p' = 1 \!$ per a qualsevol nombre primer $\scriptstyle p \!$.
• $\scriptstyle (ab)'=a'b+ab' \!$ per a qualsevol $\scriptstyle a \textrm{,} b \in \mathbb{N}$ (Regla del producte).

Per tal que coincideixi amb la regla del producte $1'$ es defineix com $0$, tal com és $0'$. Explícitament, suposant que

$x = p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}\textrm{,}$

on $p_1,\dots, p_k$ són nombres primers diferents i $e_1,\dots, e_k$ són enters positius. Llavors

$x' = \sum_{i=1}^k e_ip_1^{e_1}\cdots p_i^{e_i-1}\cdots p_k^{e_k} = \sum_{i=1}^k \frac{e_i}{p_i} x.$

La derivada aritmètica també compleix la regla de la potència (per a nombres primers):

$(p^a)' = ap^{a-1}\textrm{,}\!$

on $p$ és primer i $a$ és un enter positiu. Per exemple

$\begin{align} 81' = (3^4)' & = (9\cdot 9)' = 9'\cdot 9 + 9\cdot 9' = 2[9(3\cdot 3)'] \\ & = 2[9(3'\cdot 3 + 3\cdot 3')] = 2[9\cdot 6] = 108 = 4\cdot 3^3. \end{align}$

La successió de derivades aritmètiques per k = 0, 1, 2... comença (successió A003415 a l'OEIS):

0, 0, 1, 1, 4, 1, 5, 1, 12, 6, 7, 1, 16, 1, 9, ....

E.j. Barbeau va ser el primer en formalitzar aquesta definició. L'estenia a tots els enters demostrant que $(-x) ' = -x'$ defineix univocament la derivada sobre els enters. Barbeau també l'estenia a nombres racionals. Victor Ufnarovski i Bo Åhlander l'estenien a certs irrationals. En aquestes ampliacions, la fórmula de damunt encara s'aplica, però els exponents $e_i$ es permet que siguin nombres racionals arbitraris.

Rellevància per a la teoria de nombres

Ufnarovski and Åhlander have detailed the function's connection to famous number-theoretic conjectures like the twin prime conjecture, the prime triples conjecture, and Goldbach's conjecture. For example, Goldbach's conjecture would imply, for each k > 1 the existence of an n so that n' = 2k. The twin prime conjecture would imply that there are infinitely many k for which k'' = 1.

Ufnarovski i Åhlander han detallat la connexió de la funció a conjectures teòriques de nombre famoses com la conjectura dels nombres primers bessons, la conjectura de nombres primers trigemins, i la Conjectura de Goldbach. Per exemple, la conjectura de Goldbach implicaria, per a cada k > 1 existeix un n de manera que n ' = 2k. La conjectura dels nombres primers bessons implicaria que hi hagi una quantiat infinita de k per als que k '' = 1.

Referències

• E. J. Barbeau, "Remark on an arithmetic derivative", Canadian Mathematical Bulletin Vol. 4 (1961), 117–122.
• Victor Ufnarovski and Bo Åhlander, "How to Differentiate a Number", Journal of Integer Sequences Vol. 6 (2003), Article 03.3.4.
• Arithmetic Derivative, Planet Math, accessed 04:15, 9 April 2008 (UTC)
• L. Westrick. Investigations of the Number Derivative.
• Peterson, I. Math Trek: Deriving the Structure of Numbers.
• Stay, M. Generalized Number Derivatives.