Fracció

Cinc vuitens de pastís de poma

En àlgebra, una fracció (o fraccionari) (del llatí fractus, 'trencat') representa una part d'un tot o, d'una manera més general, qualsevol nombre de parts iguals. Quan es parla en llenguatge quotidià, una fracció descriu quantes parts d'una certa mida hi ha: per exemple, una meitat, cinc vuitens o tres quarts.

Una fracció «comuna», «vulgar» o «simple» (per exemple, ${\tfrac {1}{2}}$ i 17/3) està formada per un numerador enter, que s'escriu a sobre d'una línia (o abans d'una barra), i un denominador enter diferent de zero, que s'escriu sota de la línia (o després de la barra). Els numeradors i denominadors també s'utilitzen en fraccions que no són comunes, entre les quals fraccions compostes, fraccions complexes i numerals mixtos. El numerador representa un nombre de parts iguals, i el denominador, que no pot ser zero, indica quantes d'aquestes parts formen una unitat o un tot. Per exemple, en la fracció 3/4, el numerador (3) indica que la fracció representa 3 parts iguals, i el denominador (4) indica que 4 parts formen el tot.

Els nombres fraccionals també poden ser escrits sense utilitzar numeradors o denominadors explícits, ja sigui usant decimals, signes de percentatge o exponents negatius (per exemple, 0,01, 1% i 10⁻² respectivament, els quals són tots equivalents a 1/100). Un enter tal com el nombre 7 es pot interpretar com que té un denominador implícit de u: 7 és igual a 7/1.

Altres usos de les fraccions són per representar proporcions i divisions. Per tant, la fracció 3/4 també s'utilitza per representar la proporció 3:4 (la proporció d'una part respecte del tot) i la divisió 3 ÷ 4 (tres dividit entre quatre).

Tipus de fraccions

Hi ha molts tipus de fraccions:

• Una fracció comuna és un nombre racional escrit com un enter (el numerador) dividit per un enter no nul (el denominador). Hi ha diverses subcategories de fraccions comunes:
  • Fracció irreduïble: Fracció comuna el numerador del qual és enter, el denominador és enter positiu i el màxim comú divisor dels dos és 1 (és a dir, el numerador i el denominador són primers entre si).
  • Fracció pròpia: Fracció comuna que té un valor comprés entre zero i u
  • Fracció impròpia: Fracció comuna major que 1.
  • Fracció unitària: Fracció comuna de numerador 1.
  • Fracció egípcia: Suma de fraccions unitàries.
  • Fracció decimal: Fracció el denominador del qual és una potència de deu. També pot ser una fracció expressada en base 10, en contraposició amb les fraccions binàries i la resta de, que estan expressades en altres sistemes de numeració.
• Fracció mixta: Suma d'un enter i una fracció pròpia. Les fraccions mixtes es poden expressar com a fraccions impròpies.
• Una fracció irracional és, atès que totes les fraccions han de poder ser expressades com a fraccions vulgars, una terme contradictori. Un nombre irracional és, per definició, no racional, és a dir, no pot ser expressat com una fracció vulgar.
• Una fracció contínua és una expressió com aquesta:

$x=a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+{\frac {1}{a_{2}+{\frac {1}{a_{3}+\dots }}}}}}$

on els a_i són enters positius.

• Fracció composta: Fracció on el numerador o denominador (o els dos) conté al seu torn fraccions.
• Fracció parcial: La que pot usar-se per a descompondre una funció racional.

Comparació de fraccions

La comparació de fraccions permet determinar, d'una parella de fraccions o més, quina és la que té un valor superior. Es poden donar tres casos:

Fraccions amb igual denominador

Per fraccions que tenen el mateix denominador s'ha de comparar els numeradors és. La fracció amb major numerador serà més gran.

• Exemple: ${\frac {9}{8}}$ i ${\frac {3}{8}}$. La primera fracció és major, ja que 9> 3.

Fraccions amb igual numerador

De dues o més fraccions que tenen igual numerador és més gran la que té menor denominador.

• Exemple: ${\frac {5}{4}}$ i ${\frac {5}{2}}$. La major és ${\frac {5}{2}}$

Fraccions amb diferent numerador i denominador

Per fraccions amb diferent numerador i denominador, s'han de buscar fraccions equivalents trobant el mínim comú denominador (reduir fraccions a comú denominador) i, a partir d'aquí, seria un problema del primer cas.

• Exemple: ${\frac {2}{4}}$ i ${\frac {3}{5}}$ El mínim comú denominador és 20, resultant ${\frac {10}{20}}$ i ${\frac {12}{20}}$. Com 10 <12, ${\frac {2}{4}}$ <${\frac {3}{5}}$

Referències

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Fracció