Llei de Stokes

La llei de Stokes es refereix a la força de fricció experimentada per objectes esfèrics movent-se en el si d'un fluid viscós en un règim laminar de baixos nombres de Reynolds. Va Ser derivada el 1851 per George Gabriel Stokes després de resoldre un cas particular de les equacions de Navier-Stokes. En general la llei de Stokes és vàlida en el moviment de partícules esfèriques petites movent-se a velocitats baixes.

Un cos que compleix la llei de Stokes es veu sotmès a dues forces, la gravitatòria i la de fregament. En el moment que ambdues s’igualen a la seva acceleració es torna nul•la i la seva velocitat constant.

La llei de Stokes pot escriure's com:

Fr=6πRην,

on R és el radi de l'esfera, ν la seva velocitat i η la viscositat del fluid.

La condició de baixos nombres de Reynolds implica un flux laminar, la qual cosa pot traduir-se per una velocitat relativa entre l'esfera i el medi inferior a un cert valor crític. En aquestes condicions la resistència que oferix el mitjà és deguda gairebé exclusivament a les forces de fregament que s'oposen al lliscament d'unes capes de fluid sobre unes altres a partir de la capa límit adherida al cos. La llei de Stokes s'ha comprovat experimentalment en multitud de fluids i condicions.

Si les partícules estan caient verticalment en un fluid viscós a causa del seu propi pes, pot calcular-se la seva velocitat de caiguda o sedimentació igualant la força de fricció amb la força de gravetat.

$V_s =\frac{2}{9}\frac{r^2 g (\rho_p - \rho_f)}{\eta}$

on:

V_s és la velocitat de caiguda de les partícules (velocitat límit)

g és la acceleració de la gravetat,

ρ_p és la densitat de les partícules i

ρ_f és la densitat del fluid.

Aplicacions

La llei de Stokes és la base del viscòmetre de esfera caient, en el qual el fluid es troba estacionari en un tub de vidre vertical. Una esfera de mida i densitat conegudes es fa caure a través del líquid. Si es selecciona correctament, assoleix la seva velocitat terminal, que pot ser mesurada a partir del temps que triga a traspassar 2 marques del tub. Es poden fer servir sensors electrònics per a fluids opacs. Coneixent la velocitat terminal, la mida i la densitat de la esfera i la densitat del líquid, la llei de Stokes ens permet calcular la viscositat del fluid. Series de boles d’acer de diferents diàmetres s’utilitzen per millorar la precisió del càlcul. Els experiments escolars fan servir Glicerina o sirope daurat com a fluid, la tècnica es fa servir industrialment per comprovar la viscositat dels fluids fets servir en el procés. Forces experiments escolars acostumen a involucrar la variació de temperatura o concentració de les substancies per tal de demostrar els efectes que tenen sobre la viscositat. Els mètodes industrials inclouen diferents olis i polímers com a líquids per a aquestes solucions.

La importància de la llei de Stokes s’il·lustra en el fet que ha jugat un paper crucial en la recerca que ha portat a almenys 3 Premis Nobel.

La llei de Stokes es important per entendre com neden els microorganismes i l’esperma; també la sedimentació sota la força de la gravetat, de petites partícules i organismes, en aigua. En l’aire, es pot fer servir la mateixa teoria per explicar perquè les petites gotes d’aigua (o cristalls de gel) poden romandre suspeses al aire (com a núvols) fins que creixen a una mida critica i comencen a caure com a pluja (o neu). Un ús similar de la equació es pot fer servir per al dipòsit de partícules fines en l’aigua o altres fluids.

Fluid de Stokes al voltant de una esfera

Aquesta secció és sobre el flux de Stokes estacionari al voltant de una esfera. Per a les forces de una esfera en un estat no estacionari del flux de Stokes, veure la equació de Basset-Boussinesg-Oseen

Flux de Stokes estacionari

En el flux de Stokes, a nombres molt petits del nombre de Reynolds, el terme de acceleració convectiva en les equacions de Navier-Stokes són negligibles. Llavors les equacions del flux són, per a un flux estacionari incompressible

$\nabla_p =\eta \nabla^2 u = -\eta \nabla \times \omega$

$\nabla \cdot u = 0$

On:

• p és la pressió del fluid (Pa)
• u és la velocitat del flux (m/s)
• ω és la vorticitat (s-1), definida com: $\omega =\nabla \times u$

Fent servir alguns càlculs vectorials de identitats, aquestes equacions es poden resultar en les equacions de Laplace per a la pressió i cadascun dels components del vector de vorticitat:

$\nabla^2 \omega = 0$ i $\nabla^2 p = 0$

Forces addicionals com la gravetat i la flotabilitat no s’han tingut en compte, però es poden afegir fàcilment ja que les equacions de sobre son lineals, per tant es poden aplicar la superposició lineal de solucions i forces associades.

Flux al voltant de una esfera

Per el cas de una esfera en un camp llunyà uniforme, val la pena fer servir un sistema de coordenades cilíndric (r , φ , z). El eix z es troba des de el centre de la esfera i en direcció amb el flux, mentre que r es el radi mesurat perpendicular al eix z. L’origen és al centre de la esfera. Com que el flux es axisimètric al voltant del eix z, és independent del azimut φ. En aquest sistema de coordenades cilíndriques, el flux incompressible es pot descriure amb la funció de corrent de Stokes ψ, depenent de r i z.

$\nu = -\frac {1}{r} \frac{\delta \psi}{\delta z}$, $\omega = \frac {1}{r} \frac{\delta \psi}{\delta r}$

Amb v i w els component de la velocitat en les direccions de r i z, respectivament. El component de la velocitat azimutal en la direcció φ val zero, en aquest cas axisimètric. El volum del flux, a traves de un tub lligat a traves de una superfície de constant ψ, és igual a 2π ψ i és constant. Per aquest cas de flux axisimètric, només la component no nul•la del vector de vorticitat és la component φ azimutal ω_φ

$\omega_\varphi =\frac{\delta \nu}{\delta z}-\frac{\delta \omega}{\delta r}=-\frac{\delta}{\delta r}(\frac{1}{r} \frac{\delta \psi}{\delta r})- \frac{1}{r} \frac{\delta^2 \psi}{\delta z^2}$

L’operador de Laplace aplicat a la vorticitat ω_φ, es torna en aquest sistema de coordenades cilíndriques amb axisimetria :

$\nabla^2 \omega_\varphi = \frac{1}{r} \frac{\delta}{\delta r}(r \frac{\delta \omega_\varphi}{\delta r}) + \frac{\delta^2 \omega_\varphi}{\delta z^2} - \frac{\omega_\varphi}{r^2} = 0$

A partir de les dues equacions prèvies, i amb les apropiades condicions de contorn, per a un camp llunyà amb un flux uniforme amb velocitat V en la direcció Z i una esfera de radi R, la solució es troba com a:

$\psi= - \frac{1}{r} V r^2 [1 - \frac{3}{2} \frac{R}{\sqrt[2]{r^2 + z^2}} + \frac{1}{2} (\frac{R}{\sqrt[2]{r^2 + z^2}})^3]$

La força de la viscositat per unitat de area σ, exercida per el fluid a la superfície de la esfera, és en la direcció del eix Z a tot arreu. Més concretament, té el mateix valor a tot arreu de la esfera:

$\sigma = \frac{3 \mu V}{2 R} e_z$

Amb e, el vector unitari en la direcció Z. Per a altres formes que la esfèrica, σ no és constant al llarg de la superfície del cos. La integració de la força de la viscositat per unitat de area σ sobre la superfície esfèrica dona la força de fricció F_d d’acord amb la llei de Stokes.

Velocitat terminal i temps de sedimentació

A la velocitat terminal, la força de fricció F_d a la esfera es compensa per l’excés de força F_g deguda a la diferencia entre la massa de la esfera i la seva flotabilitat, ambdues causades per la gravetat.

$F_g= (\rho_p - \rho_f) g \frac{4}{3} \pi R^3$

Amb ρ_p i ρ_f les densitats de la esfera i del fluid, respectivament, i g la acceleració gravitacional. Aplicant balanç de forces F_d = F_g i solucionant per a la velocitat V s’obté la velocitat terminal V_s. Nota que mentre la força de flotabilitat augmenta amb R³ i la força de fricció augmenta amb R, la velocitat terminal augmenta amb R² i aquests varien àmpliament amb la mida de la partícula. Si la velocitat terminal s’assoleix relativament ràpid, una mitjana de temps de sedimentació es pot calcular dividint la altura des de la que cau la partícula per la seva velocitat terminal.

References

• Batchelor, G.K.. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press, 1967. ISBN 0-521-66396-2. 
• Lamb, H. Hydrodynamics. 6th edition. Cambridge University Press, 1994. ISBN 978-0-521-45868-9.  Originally published in 1879, the 6th extended edition appeared first in 1932.

Vegeu també

• Trajectòria balística
• Velocitat relativa
• Cinemàtica
• Caiguda lliure
• Velocitat límit