Massa reduïda

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En física, la massa reduïda és la massa inercial "efectiva" que apareix en el problema dels dos cossos de la mecànica newtoniana. És una quantitat que permet que el problema dels dos cossos que cal resoldre com si es tractés d'un problema d'un cos. Tingueu en compte, però, que la massa de la determinació de la força gravitacional no és reduïda. En el càlcul d'una massa pot ser substituït per la massa reduïda, si això es compensa mitjançant la substitució de l'altra massa per la suma de les dues masses. La massa reduïda s'indica per freqüència \scriptstyle \mu (Grec minúscules mu), encara que l'estàndard paràmetre gravitacional també s'indica per mitjà per \scriptstyle \mu (i així són també una sèrie d'altres magnituds físiques). Té les dimensions de la massa, i el Sistema Internacional d'Unitats en kg.

Equació[modifica | modifica el codi]

Donats dos cossos, un amb la massa m1 i l'altre amb la massa m2, el problema d'un cos equivalent, amb la posició d'un cos respecte a l'altre com el desconegut, és la d'un únic cos de massa[1][2]

m_\text{red} = \mu = \cfrac{1}{\cfrac{1}{m_1}+\cfrac{1}{m_2}} = \cfrac{m_1 m_2}{m_1 + m_2},\!\,

on la força sobre aquesta massa està donada per la força entre els dos cossos.

Propietats[modifica | modifica el codi]

La massa reduïda és sempre menor o igual a la massa de cada cos:

m_\text{red} \leq m_1, \quad m_\text{red} \leq m_2 \!\,

i té la propietat additiva de reciprocitat:

\frac{1}{m_\text{red}} = \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \,\!

que per redisposició és equivalent a la meitat de la mitjana harmònica.

Derivació[modifica | modifica el codi]

L'equació es pot derivar de la següent manera.

Mecànica newtoniana[modifica | modifica el codi]

Article principal: Mecànica newtoniana

Emprant la segona llei de Newton, la força exercida pel cos 2 al cos 1 és: \bold{F}_{12} = m_1 \bold{a}_1. \!\,

La força exercida pel cos 1 en el cos 2 és

\bold{F}_{21} = m_2 \bold{a}_2. \!\,

D'acord amb la tercera llei de Newton, la força que exerceix el cos 2 al cos 1 és igual i oposada a la força que exerceix el cos 1 en el cos 2:

\bold{F}_{12} = - \bold{F}_{21}.\!\,

Per tant,

m_1 \bold{a}_1 = - m_2 \bold{a}_2. \!\,

i

\bold{a}_2=-{m_1 \over m_2} \bold{a}_1. \!\,

L'acceleració relativa arel entre els dos cossos està donada per

\bold{a}_{\rm rel}= \bold{a}_1-\bold{a}_2 = \left(1+\frac{m_1}{m_2}\right) \bold{a}_1 = \frac{m_2+m_1}{m_1 m_2} m_1 \bold{a}_1 = \frac{\bold{F}_{12}}{m_{\rm red}}.

Així arribem a la conclusió que el cos 1 es mou respecte a la posició del cos 2 com un cos de massa igual a la massa reduïda.

Mecànica lagrangiana[modifica | modifica el codi]

Article principal: Mecànica lagrangiana

D'altra banda, una descripció de Lagrange del problema de dos cossos dóna un Lagrangià de

L = {1 \over 2} m_1 \mathbf{\dot{r}}_1^2 + {1 \over 2} m_2 \mathbf{\dot{r}}_2^2 - V(| \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2 | ) \!\,

on r és el vector de posició de la massa mi (de partícules i). El potencial d'energia V és una funció, ja que només depèn de la distància absoluta entre les partícules. Si definim

\mathbf{r} = \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2

i deixar que el centre de massa coincideix amb el nostre origen en aquest marc de referència, és a dir,

 m_1 \mathbf{r}_1 + m_2 \mathbf{r}_2 = 0 ,

Aleshores

 \mathbf{r}_1 = \frac{m_2 \mathbf{r}}{m_1 + m_2}, \mathbf{r}_2 = \frac{-m_1 \mathbf{r}}{m_1 + m_2}.

Aleshores substituint a l'anterior dóna un nou Lagrangià

 L = {1 \over 2}m_\text{red} \mathbf{\dot{r}}^2 - V(r),

on

m_\text{red} = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}

és la massa reduïda. Per tant hem reduït el problema de dos cossos a la d'un sol cos.

Aplicacions[modifica | modifica el codi]

La massa reduïda es produeix en una multitud de problemes de dos cossos, en què la mecànica clàssica és aplicable.

Col·lisions de partícules[modifica | modifica el codi]

En una col·lisió amb un coeficient de restitució e, el canvi en l'energia cinètica es pot escriure com a

\Delta K = \frac{1}{2}\mu v^2_{\rm rel}(e^2-1),

on vrel és la velocitat relativa dels cossos abans de la col·lisió.

Per a aplicacions típiques en la física nuclear, on la massa d'una partícula és molt més gran que l'altre, la massa reduïda es pot aproximar com la massa més petita del sistema. El límit de la fórmula massa reduïda com una massa tendeix a l'infinit és la massa més petita, de manera que aquesta aproximació s'utilitza per alleujar els càlculs, especialment quan, partícules més grans de massa exacta no es coneix.

Moviments de masses en camps gravitatoris[modifica | modifica el codi]

En el cas de l'energia potencial gravitatòria

V(| \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2 | ) = - \frac{G m_1 m_2}{| \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2 |} \, ,

ens trobem que la posició del primer cos que fa a la segona es regeix per la mateixa equació diferencial com la posició d'un cos amb la massa reduïda en òrbita al voltant d'un cos amb una massa igual a la suma de les dues masses, perquè

m_1 m_2 = (m_1+m_2) m_\text{red}\!\,

La mecànica quàntica no relativista[modifica | modifica el codi]

Penseu l'electró (massa me) i el protó (massa mp) en l'àtom d'hidrogen.[3] Es mouen en òrbita al voltant d'un centre comú de massa, un problema de dos cossos. Per analitzar el moviment de l'electró, un problema d'un sol cos, la massa reduïda substitueix la massa de l'electró

m_e \rightarrow \frac{m_em_p}{m_e+m_p}

i la massa del protó es converteix en la suma de les dues masses

m_p \rightarrow m_e + m_p

Aquesta idea s'utilitza per configurar l'equació de Schrödinger per a l'àtom d'hidrogen.

Altres usos[modifica | modifica el codi]

La "massa reduïda" també es pot referir més generalment a un terme algebraic de la forma [cal citació]

x_\text{red} =  {1 \over {1 \over x_1} + {1 \over x_2}} = {x_1 x_2 \over x_1 + x_2}\!\,

que simplifica una equació de la forma

\ {1\over x_\text{eq}} = \sum_{i=1}^n {1\over x_i} = {1\over x_1} + {1\over x_2} + \cdots+ {1\over x_n}.\!\,

La massa reduïda s'utilitza normalment com una relació entre dos elements del sistema en paral·lel, com ara resistències]], ja siguin en els camps elèctrics, tèrmics, hidràulics o mecànics. Aquesta relació es determina per les propietats físiques dels elements, així com l'equació de continuïtat els uneix.

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, 1991, (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, (VHC Inc.) 0-89573-752-3
  2. Dynamics and Relativity, J.R. Forshaw, A.G. Smith, Wiley, 2009, ISBN 978-0-470-01460-8
  3. Molecular Quantum Mechanics Parts I and II: An Introduction to QUANTUM CHEMISRTY (Volume 1), P.W. Atkins, Oxford University Press, 1977, ISBN 0-19-855129-0

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]