Nombre harmònic

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
El nombre harmònic H_{n,1} amb n=\lfloor{x}\rfloor (línia vermella) amb el seu límit asimptòtic \gamma+\ln[x] (línia blava).

En matemàtiques, l' n-èssim nombre harmònic és la suma dels recíprocs dels primers n nombres naturals:

H_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}.

Això és el mateix que n vegades l'invers de la mitjana harmònica d'aquests nombres naturals.

Els nombres harmònics s'han estudiat des de l'antiguitat i són importants en moltes branques de la teoria de nombres. A vegades s'anomenen vagament com sèrie harmònica. A més, estan estretament relacionats amb la funció zeta de Riemann i apareixen en l'expression d'algunes funcions especials.

Representació[modifica | modifica el codi]

La primera representació, en forma integral, la va donar Leonhard Euler:

H_n = \int_0^1\frac{1-x^n}{1-x}dx

Veiem que:

H_{n+1} = \int_0^1 \frac{1-x^{n+1}}{1-x} dx = \int_0^1 (x^n+\frac{1-x^n}{1-x})dx = \int_0^1 x^n dx +  \int_0^1\frac{1-x^n}{1-x}dx

En resum

H_{n+1} = H_n + \frac{1}{n+1}

La qual cosa ja era evident per la definició en els nombres naturals.