Piràmide pentagonal

Piràmide pentagonal

Tipus	Sòlid de Jhonson
Cares	Triangles equilaters i un pentàgon
Elements :  · Cares  · Arestes  · Vèrtex  · Característica	6 10 6 2
Cares per vèrtex	3 i 5
Vèrtex per cara	3 i 5
Simetries	C5v
Dual	Ella mateixa
Propietats	Convex

En geometria, la piràmide pentagonal és una piràmide que té un pentàgon a la base.

Si el vèrtex oposat a la base pentagonal està sobre la perpendicular traçada al centra del pentàgon llavors té simetria C_5v

Si les cares triangulars són triangles equilàters llavors és un dels noranta dos sòlids de Jhonson (J₂).

Com totes les piràmides, és dual de si mateixa.

Els 92 sòlids de Johnson van ser descrits 1966 per Norman Johnson i els va numerar. No va demostrar que no n'existia més que 92, però va conjecturar que no n'hi havia d'altres. Victor Zalgaller el 1969 va demostrat que la llista de Johnson era completa. S'utilitzen els noms i l'ordre donats per Johnson, i se'ls nota J_xx on xx és el nombre donat per Jonson.

Alçada, Superfície i volum

Pel cas en que les cares triangulars siguin triangles equilàters (és a dir pel cas de que sigui un sòlid de Johnson d'aresta a, llavors l'alçada H del vèrtex oposat a la base pentagonal és

$H=a\sqrt{{\frac{5-\sqrt{5}}{10}}}$

L'àrea A de les cares de la piràmide i el seu volum V es poden calcular amb les fórmules:

$S=\frac{1}{2}a^{2}\sqrt{\frac{5}{2}\left( 10+\sqrt{5}+\sqrt{75+30\sqrt{5}} \right)}$

I el volum V:

$V=\frac{1}{24}\left( 5+\sqrt{5} \right)a^{3}$

Desenvolupament pla

Desenvolupament pla de la piràmide pentagonal

Vegeu també

• Políedre arquimedià
• Políedre de Catalan
• Políedre regular
• Sòlid platònic

Referències

• Norman W. Johnson, "Convex Solids with Regular Faces", Canadian Journal of Mathematics, 18, 1966, pages 169–200. Conté l'enumeració original dels 92 sòlids i la conjectura de que n'hi ha pas d'altres.
• Victor A. Zalgaller, "Convex Polyhedra with Regular Faces", 1969 : primera demostració d'aquesta conjectura.
• Eric W. Weisstein. Johnson Solid : cada sòlid amb el seu desenvolupament

Enllaços externs

• Weistein, Eric W., Pentagonal pyramid piràmide pentagonal a MathWorld. (anglès)
• Weistein, Eric W., Johnson solid Sòlid s de Johnson a MathWorld. (anglès)