Políedre arquimedià

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En geometria, un políedre arquimedià o semiregular és un poliedre convex les cares del qual estan formades per dos o més tipus de polígons regulars tal que els seus vèrtexs són homogenis. També es requereix que el políedre no sigui ni un prisma ni un antiprisma. Els políedres arquimedians són 13, i es diferencien dels sòlids platònics (o regulars), en què totes les cares dels sòlids platònics són iguals i dels sòlids de Johnson, en què els vèrtexs d'aquests últims no són homogenis.

Definició[modifica | modifica el codi]

Un políedre arquimedià o semiregular és un políedre convex que satisfà les següents propietats:

  1. Les seves cares són polígons regulars.
  2. Els seus vèrtexs són homogenis: és a dir, per cada parell de vèrtexs hi ha una simetria del sòlid que transforma el primer en el segon.
  3. No és ni un sòlid platònic ni un prisma ni un antiprisma.

Un sòlid aquimedià té almenys dos tipus de cares diferents: els sòlids que satisfan les dues primeres propietats i que només tenen un tipus de cara són els sòlids platònics (o regulars). Els sòlids arquimedians, per tant en un cert sentit són els sòlids més "regulars" després dels platònics (d'aquí el terme "semiregulars").

Els prismes i els antiprismes no són considerats tradicionalment arquimedians, encara que compleixin les dues primeres propietats. Els prismes i els antiprismes difereixen qualitativament dels sòlids d'Arquimedes per dos factors:

  1. Els prismes i els antiprismes formen dues famílies de sòlids infinites, mentre que els sòlids d'Arquímedes són en nombre finit (13)
  2. Els prismes i els antiprismes permeten "unes poques" simetries (el seu grup de simetria és el grup diedre, un grup "més senzill" que els grups de simetria dels sòlids arquimedians).

Origen del nom[modifica | modifica el codi]

Els políedres arquimedians deuen el seu nom a Arquimedes, qui els va estudiar en un treball ara perdut. Durant el Renaixement diversos artistes matemàtics, que tornares a valorar les formes pures varen redescobir tots aquests políedres rics en simetries. Aquesta recerca fou completada entorn del 1619 per Kepler, que va redefinir prisma, antiprisma i dos dels políedres regulars no convexos avui en dia anomenats sòlids de Kepler-Poinsot.

Propietats[modifica | modifica el codi]

Vèrtexs[modifica | modifica el codi]

Donat que els vèrtexs són homogenis, són tots iguals. Més concretament, les cares incidents a un vèrtex són iguals i en el mateix ordre que les incidents a qualsevol altre (es poden obtenir unes de les altres per mitjà de rotacions).

Arestes[modifica | modifica el codi]

Les arestes d'un poliedre arquimedià tenen totes la mateixa longitud: això és degut al fet que les cares són totes polígons regulars. La longitud a d'una aresta és un paràmetre que determina la mida total del políedre: els canvis de a transformen el poliedre per semblança. En conseqüència, el volum i la superfície d'un poliedre arquimedià es calculen en funció de a.

Classificació[modifica | modifica el codi]

Hi ha tretze sòlids arquimedians, dos dels quals són quirals, és a dir que no és equivalents a la seva imatge especular: Per aquesta raó, en alguns contextos aquests políedres es compten dues vegades i es parla de 15 sòlids arquimedians. A la taula següent per configuració dels vèrtexs s'entén la successió de nombres dels costats que caracteritzen les polígons regulars que incideixen a cada vèrtex. Per exemple, la configuració (4,6,8) significa que a cada vèrtex hi incideix un quadrat, un hexàgon i un octògon; la successió es determina resseguint el vèrtex en sentit horari. El grup de simetria del sòlid Oh, Ih i Td és respectivament el grup de simetria del octàedre, l'icosàedre i el tetràedre. Els grups O i I són els subgrups respectivament de Oh i Ih formats per les simetries que preserven l'orientació.

Name
(Configuració dels vèrtexs)
Transparent Sòlid Desenvolupament pla Cares Cares
(Per tipus)
Arestes Vèrtexs Grup de simetria
tetràedre truncat
(3.6.6)
Truncated tetrahedron
(Animació)
Tetràedre truncat Desenvolupament pla del tetràedre truncat 8 4 triangles
4 hexàgons
18 12 Td
cuboctàedre
(3.4.3.4)
Cuboctahedron
(Animació)
Cuboctàedre Desenvolupament pla del cuboctàedre  14  8 triangles
6 quadrats
24 12 Oh
cub truncat

(3.8.8)
Truncated hexahedron
(Animació)
Cub truncat Desenvolupament pla del cub truncat 14 8 triangles
6 octàgons
36 24 Oh
octàedre truncat
(4.6.6)
Truncated octahedron

(Animació)

Octàedre truncat Desenvolupament pla de l'octàedre truncat 14 6 quadrats
8 hexàgons
36 24 Oh
petit rombicuboctàedre

(3.4.4.4 )
Rhombicuboctahedron
(Animació)
petit rombicuboctàedre(3.4.4.4 ) Desenvolupament pla del petit rombicuboctàedre(3.4.4.4 ) 26 8 triangles
18 quadrats
48 24 Oh
cuboctàedre truncat
o gran rombicuboctàedre
(4.6.8)
Truncated cuboctahedron
(Animació)
cuboctàedre truncato gran rombicuboctàedre(4.6.8) Desenvolupament pla del cuboctàedre truncato gran rombicuboctàedre(4.6.8) 26 12 quadrats
8 hexàgons
6 octàgons
72 48 Oh
cub xato


(2 formes quirals)
(3.3.3.3.4)
Snub hexahedron (Ccw)
(Animació)
Snub hexahedron (Cw)
(Animació)
cub xato Desenvolupament pla del cub xato 38 32 triangles
6 quadrats
60 24 O
icosidodecàedre
(3.5.3.5)
Icosidodecahedron
(Animació)
icosidodecàedre(3.5.3.5) Desenvolupament pla de l'icosidodecàedre(3.5.3.5) 32 20 triangles
12 pentàgons
60 30 Ih
dodecàedre truncat
(3.10.10)
Truncated dodecahedron
(Animació)
dodecàedre truncat(3.10.10) Desenvolupament pla del dodecàedre truncat(3.10.10) 32 20 triangles
12 decàgons
90 60 Ih
icosàedre truncat


(5.6.6 )
Truncated icosahedron
(Animació)
icosàedre truncat(5.6.6 ) Desenvolupament pla de l'icosàedre truncat(5.6.6 ) 32 12 pentàgons
20 hexàgons
90 60 Ih
petit rombi-cosidodecàedre

(3.4.5.4)
Rhombicosidodecahedron
(Animació)
petit rombi-cosidodecàedre(3.4.5.4) Desenvolupament pla del petit rombi-cosidodecàedre(3.4.5.4) 62 20 triangles
30 quadrats
12 pentagons
120 60 Ih
gran rombi-cosidodecàedre

(4.6.10)
Truncated icosidodecahedron
(Animació)
gran rombi-cosidodecàedre(4.6.10) Desenvolupament pla del gran rombi-cosidodecàedre(4.6.10) 62 30 quadrats
20 hexàgons
12 decàgons
180 120 Ih
dodecàedre xato

(2 formes quirals)
(3.3.3.3.5)
Snub dodecahedron (Ccw)
(Animació)
Snub dodecahedron (Cw)
(Animació)
dodecàedre xato Desenvolupament pla del dodecàedre xato 92 80 triangles
12 pentagons
150 60 I

Poliedres quasiregulars[modifica | modifica el codi]

Els dos primers políedres, el cuboctàedre i el icosidodecàedre, tenen fins i tot les arestes homogènies: per cada parell d'arestes hi ha una simetria del políedre que mou la primera en la segona. Els políedres amb aquesta propietat s'anomenen quasiregulars (no confondre amb semiregulars, sinònim d'arquimedians).

Políedres quirals[modifica | modifica el codi]

El cub xato i el dodecàedre xato són poliedres quirals, políedres que no són equivalents a la seva imatge especular. Aquestes presenten dues formes, levomorfa i dextromorfa, que, com les mans, es transformen l'una en l'altra per una reflexió respecte d'un pla.

Políedres duals[modifica | modifica el codi]

Els políedres duals dels políedres arquimedians s'anomenen sòlids de Catalan. La relació de dualitat intercanvia els papers dels vèrtexs i de les cares: com que els políedres arquimedians tenen els vèrtexs homogenis (però no les cares), els de Catalan tenen les cares homogènies (però no els vèrtexs).

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

  • Henry Martin Cundy & A. P. Rollett. Feltrinelli. I modelli matematici, 1974. 
  • Dedò, Maria. Decibel & Zanichelli. Forme, simmetria e topologia, 1999. ISBN 88-08-09615-7. 
  • Berzolari & G.Vivanti & D. Gigli, Luigi. Ulrico Hoepli. Enciclopedia delle Matematiche elementari, 1929, 1937, 1950. ISBN 88-2030-265-9. 

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Políedre arquimedià Modifica l'enllaç a Wikidata