Dodecàedre truncat

Dodecàedre truncat
Tipus	Políedre arquimedià
Cares	Triangles i decàgons
Elements :; · Cares; · Arestes; · Vèrtex; · Característica	; 32 (20 triangles i 12 decàgons); 90; 60; 2
Cares per vèrtex	3
Vèrtex per cara	3 i 10
Simetries	Ih
Dual	Icosàedre triakis
Propietats	Semi-regular i convex

En geometria, el dodecàedre truncat és un dels tretze políedres arquimedians, s'obté truncant els vint vèrtex de l'dodecàedre.

Té 32 cares, 12 de les quals són decagonals i 20 triangulars, 90 arestes i a cadascun dels seus 60 vèrtex i concorren dues cares decagonals i una triangular.

Taula de continguts

1 Àrea i volum
2 Esferes circumscrita, inscrita i tangent a les arestes
3 Dualitat
4 Desenvolupament pla
5 Simetries
6 Políedres relacionats
7 Vegeu també
8 Bibliografia
9 Enllaços externs

Àrea i volum [modifica]

Les fórmules per calcular l'àrea A i el volum V d'un dodecàedre truncat tal que les seves arestes tenen longitud a són les següents:

$A=(5\sqrt{3}+30\sqrt{5+2\sqrt{5}})a^2$

$V=\begin{matrix}{5\over12}\end{matrix}(99+47\sqrt{5})a^3$

Esferes circumscrita, inscrita i tangent a les arestes [modifica]

Els radis R, r i $\rho$ de les esferes circumscrita, inscrita i tangent a les arestes respectivament són:

$\begin{align} & R=\frac{a\sqrt{74+30\sqrt{5}}}{4} \\ & r=\frac{5a\left( 17\sqrt{2}+3\sqrt{10} \right)\sqrt{37+15\sqrt{5}}}{488} \\ & \rho =\frac{a\left( 5+3\sqrt{5} \right)}{4} \\ \end{align}$

On a és la longitud de les arestes.

Dualitat [modifica]

El políedre dual del dodecàedre truncat és l'icosàedre triakis.

Desenvolupament pla [modifica]

Desenvolupament pla del dodecàedre truncat

Simetries [modifica]

El grup de simetria del dodecàedre truncat té 120 elements; el grup de les simetries que preserven les orientacions és el grup icosàedric $I \cong A_5$ . Son els mateixos grups de simetria que per l'icosàedre i pel dodecàedre.