Icosàedre truncat

Icosàedre truncat
	Model 3D
Tipus	políedre arquimedià, políedre uniforme, Goldberg polyhedron (en) i triacontadihedron (en)
Forma de les cares	pentàgon regular (12); hexàgon regular (20)
Símbol de Schläfli	t{3,5}
Dual	dodecàedre pentakis
Elements
Vèrtexs	60;
Arestes	90;
Cares	32
Més informació
MathWorld	TruncatedIcosahedron

En geometria, l'icosàedre truncat és un dels tretze políedres arquimedians, s'obté truncant els dotze vèrtexs de l'icosàedre.

Té 32 cares, 12 de les quals són pentagonals i 20 hexagonals, 90 arestes i a cadascun dels seus 60 vèrtex i concorren dues cares hexagonals i una pentagonal.

Àrea i volum[modifica]

Les fórmules per calcular l'àrea A i el volum V d'un icosàedre truncat tal que les seves arestes tenen longitud a són les següents:

A=(30{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}})a^{2}

V={\begin{matrix}{1 \over 4}\end{matrix}}(125+43{\sqrt {5}})a^{3}

Esferes circumscrita, inscrita i tangent a les arestes[modifica]

Els radis R, r i $\rho$ de les esferes circumscrita, inscrita i tangent a les arestes respectivament són:

{\begin{aligned}&R={\frac {a{\sqrt {58+18{\sqrt {5}}}}}{4}}\\&r={\frac {9a\left(21+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {58+18{\sqrt {5}}}}}{872}}\\&\rho ={\frac {3a\left(1+{\sqrt {5}}\right)}{4}}\\\end{aligned}}

On a és la longitud de les arestes.

Dualitat[modifica]

El políedre dual de l'icosàedre truncat és el dodecàedre pentakis.

Desenvolupament pla[modifica]

Simetries[modifica]

El grup de simetria del icosàedre truncat té 120 elements; el grup de les simetries que preserven les orientacions és el grup icosàedric $I\cong A_{5}$ . Són els mateixos grups de simetria que per l'icosàedre i pel dodecàedre.