Icosàedre truncat

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Icosàedre truncat
Cuboctaèdre
Tipus Políedre arquimedià
Cares hexàgons i pentàgons
Elements :
 · Cares
 · Arestes
 · Vèrtexs
 · Característica
 
32 (20 hexàgons i 12 pentagons)
90
60
2
Cares per vèrtex 3
Vèrtexs per cara 6 i 5
Simetries Ih
Dual Dodecàedre pentakis
Propietats Semi-regular i convex

En geometria, el icosàedre truncat és un dels tretze políedres arquimedians, s'obté truncant els dotze vèrtexs del icosàedre.

Té 32 cares, 12 de les quals són pentagonals i 20 hexagonals, 90 arestes i a cadascun dels seus 60 vèrtex i concorren dues cares hexagonals i una pentagonal.

Àrea i volum[modifica | modifica el codi]

Les fórmules per calcular l'àrea A i el volum V d'un icosàedre truncat tal que les seves arestes tenen longitud a són les següents:

A=(30\sqrt{3}+3\sqrt{25+10\sqrt{5}})a^2
V=\begin{matrix}{1\over4}\end{matrix}(125+43\sqrt{5})a^3

Esferes circumscrita, inscrita i tangent a les arestes[modifica | modifica el codi]

Els radis R, r i \rho de les esferes circumscrita, inscrita i tangent a les arestes respectivament són:

\begin{align}
 & R=\frac{a\sqrt{58+18\sqrt{5}}}{4} \\ 
 & r=\frac{9a\left( 21+\sqrt{5} \right)\sqrt{58+18\sqrt{5}}}{872} \\ 
 & \rho =\frac{3a\left( 1+\sqrt{5} \right)}{4} \\ 
\end{align}

On a és la longitud de les arestes.

Dualitat[modifica | modifica el codi]

El políedre dual del icosàedre truncat és el dodecàedre pentakis.

Desenvolupament pla[modifica | modifica el codi]

Desenvolupament pla del icosàedre truncat


Simetries[modifica | modifica el codi]

El grup de simetria del icosàedre truncat té 120 elements; el grup de les simetries que preserven les orientacions és el grup icosàedric  I \cong A_5 . Són els mateixos grups de simetria que per l'icosàedre i pel dodecàedre.

Políedres relacionats[modifica | modifica el codi]

La següent successió de políedres il·lustra una transició des del dodecàedre a l'icosàedre passant per l'icosàedre truncat:

Dodecàedre
dodecàedre
Dodecàedre truncat
dodecàedre truncat
Icosidodecàedre
icosidodecàedre
Icosàedre truncat
icosàedre truncat
Icosàedre
icosàedre

Aplicacions[modifica | modifica el codi]

Icosàedre truncat i pilota de futbol
La molècula del Fullerè C60.

Un dels models de pilota de futbol fa servir un icosàedre truncat amb les cares pentagonals de color negre i les hexagonals de color blanc.

L'estructura de la molècula del fullerè C_{60} correspon a un icosàedre truncat amb àtoms de carboni a cada vèrtex i enllaços a cada aresta.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

  • H. M. Cundy & A. P. Rollett. I modelli matematici. Milà: Feltrinelli, 1974. 
  • Dedò, Maria. Forme, simmetria e topologia. Bolonya: Decibel & Zanichelli, 1999. ISBN 88-08-09615-7. 

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Icosàedre truncat Modifica l'enllaç a Wikidata