Dodecàedre xato

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Dodecàedre xato
dodecàedre xatododecàedre xato
Tipus Políedre arquimedià
Cares Triangles i pentàgons
Elements :
 · Cares
 · Arestes
 · Vèrtex
 · Característica
 
92 (80 triangles i 12 pentagons)
150
60
2
Cares per vèrtex 5
Vèrtex per cara 3 i 5
Simetries Ih
Dual Hexacontàedre pentagonal
Propietats Semi-regular i convex

En geometria, el dodecàedre xato és un dels tretze políedres arquimedians.

Té 92 cares, 12 de les quals són pentagonals i 80 triangulars, 150 arestes i a cadascun dels seus 60 vèrtex i concorren una cara pentagonal i quatre cares triangulars.

Àrea i volum[modifica | modifica el codi]

Les fórmules per calcular l'àrea A i el volum V d'un dodecàedre xato tal que les seves arestes tenen longitud a són les següents:

\begin{align}
 & A=a^{2}\sqrt{15\left( 95+6\sqrt{5}+8\sqrt{15\left( 5+2\sqrt{5} \right)} \right)} \\ 
 & V=xa^{3} \\ 
\end{align}

On x és l'arrel real positiva del polinomi:

\begin{align}
 P\left( x \right)&=187.445.810.737.515.625-182.124.351.550.575.000x^{2} \\ 
 & +6.152.923.794.150.000x^{4}+1.030.526.618.040.000x^{6} \\ 
 & +162.223.191.936.000x^{8}-3.195.335.070.720x^{10}+2.176.782.336x^{12} \\ 
\end{align}

Esferes circumscrita, inscrita i tangent a les arestes[modifica | modifica el codi]

Els radis R, r i \rho de les esferes circumscrita, inscrita i tangent a les arestes respectivament són:

\begin{align}
 & R=ax \\ 
 & P(x)=209-2.696x^{2}+13.872x^{2}-35.776x^{6}+47.104x^{8}-27.648x^{10}+4.096x^{12} \\ 
 & r=ax \\ 
 & P(x)=1-128x^{2}+6.384x^{4}-149.376x^{6}+1.443.072x^{8}-3.900.416x^{10}+856.064x^{12} \\ 
 & \rho =ax \\ 
 & P\left( x \right)=1-40x^{2}+624x^{4}-4.672x^{6}+16.384x^{8}-21.504x^{10}+4.096x^{12} \\ 
\end{align}

On a cada expressió, x és l'arrel real positiva del polinomi que es presenta a continuació. On a és la longitud de les arestes.

Dualitat[modifica | modifica el codi]

El políedre dual del dodecàedre xato és l'hexacontàedre pentagonal.

Desenvolupament pla[modifica | modifica el codi]

Desenvolupament pla del dodecàedre xato


Políedres relacionats[modifica | modifica el codi]

El dodecàedre xato es pot obtenir a partir del dodecàedre expandint les 12 cares pentagonals i llavors girant-les lleugerament fins que l'espai entre ells es pugui omplir amb corones de triangles equilàters.

Dodecàedre
Dodecàedre
Dodecàedre expandit rombicosidodecàedre
Dodecàedre expandit
rombicosidodecàedre
Dodecàedre xato
Dodecàedre xato

Quiralitat[modifica | modifica el codi]

El dodecàedre xato és un políedre quiral: es presenta en dues formes que són mútuament la imatge especular l'una de l'altre. L'únic altre polígon arquimedià quiral és el cub xato.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

  • H. M. Cundy & A. P. Rollett. I modelli matematici. Milà: Feltrinelli, 1974. 
  • Dedò, Maria. Forme, simmetria e topologia. Bolonya: Decibel & Zanichelli, 1999. ISBN 88-08-09615-7. 

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Dodecàedre xato Modifica l'enllaç a Wikidata