Planímetre

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Planímetre lineal

Un planímetre és un instrument de mesura utilitzat per al càlcul d'una àrea irregular. Aquest model s'obté basant-se en la teoria de la integral de línia o de recorregut. Per als casos en què es necessita calcular superfícies irregulars o en perspectiva, com mapes o taques, la geometria clàssica o fins i tot la geometria analítica no són suficients i no presten gaire utilitat. Per això és necessari recórrer a una eina de mesura específica per aquesta finalitat, el planímetre és una fàcil alternativa.

Model i esquema d'utilització[modifica | modifica el codi]

Un planímetre (1908) mesurant l'àrea indicada pel traçat del seu perímetre.

Es té un origen O, dues longituds constants conegudes R i L, i els angles variables que formen respectivament amb l'horitzontal

Per poder calcular l'àrea A de la secció irregular, segons la teoria del càlcul, s'empra una integral de línia en sentit contrari a les agulles del rellotge (per un resultat positiu).

Però el vector r, no és fàcil d'implementar en la vida real, ja que té una magnitud i un angle variables. Per simplificar la implementació del vector r, es recorre a la suma de dos vectors de mòdul constant, amb dos angles variables, els quals són senzills de mesurar.

Principi de funcionament[modifica | modifica el codi]

Planímetre polar
Planímetre polar.

El principi de funcionament de planímetre es basa en el teorema de Green. Aplicant el teorema de Green

 \oint_{C}M\,dx + N\,dy = \int_{S}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)\,dx\,dy

a


 \oint_{C}x\,dy - y\,dx

Q ue pot ser reescrit com


 \oint_{C}- y\,dx + x\,dy

per facilitar la identificació dels termes corresponents) tenim:

 \int_{S}\left(\frac{\partial \left[x\right]}{\partial x}-\frac{\partial \left[-y\right]}{\partial y}\right)\,dx\,dy = \int_{S}2\,dA

El costat dret d'aquesta equació és proporcional a la superfície delimitada pel perímetre. El costat esquerre és igual a

 \oint_{C}- y\,dx + x\,dy = \oint_{C} (-y, x)\cdot(dx, dy)

L'integrant té la forma d'un producte escalar, el que significa que la integral és la integral de la projecció de (dx, dy) sobre (-y, x). El vector (-x, y) és perpendicular al (x, y).

Conclusions[modifica | modifica el codi]

L'equació és fàcilment programable en molts llenguatges de programació d'alt nivell (PASCAL, C, FORTRAN, etc.), ja que només es necessita el mostreig dels dos angles. Els angles es poden mesurar manualment i entrar les dades registrades al programa del planímetre.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]


A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Planímetre