Progressió geomètrica

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques una progressió geomètrica és una successió de nombres que compleix que el quocient entre qualsevol dos membres successius de la successió és una constant anomenada raó comuna o factor de progressió de la successió.

A vegades, es pot utilitzar com a concepte abstracte, normalment es fa servir com a contrapunt a progressió aritmètica, indicant la geomètrica un creixement ràpid i l'aritmètica un de no tant ràpid.

Una successió geomètrica es pot escriure com;

a_n=ar^n=a,ar,ar^2,ar^3,\ldots\,

On r ≠ 0 és el factor de progressió, a és el nombre inicial i n = 0, 1, 2, \ldots.

Qualsevol element es pot obtenir a partir de l'element anterior multiplicant-lo per la raó.

a_0  = a
a_n  = a_{n-1} r

Exemples[modifica | modifica el codi]

Una successió amb r = 2 i a = 1 és

a_n = 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...\,

Una successió amb r = 2/3 i a = 729 és

a_n = 729 (1, \frac{2}{3}, \frac{4}{9}, \frac{8}{27}, \frac{16}{81}, ...) = 729, 486, 324, 216, 144, ...

Una successió amb r = -1 i a = 3 és

a_n = 3 (1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, ...) = 3, -3, 3, -3, 3, -3, 3, -3, 3, -3, ...\,

Sèries geomètriques[modifica | modifica el codi]

Article principal: Sèrie geomètrica

Una sèrie geomètrica és el sumatori dels nombres en una progressió geomètrica:

\sum_{k=0}^{n} a r^k = a r^0+a r^1+a r^2+a r^3+\cdots+a r^n \,

Una sèrie geomètrica finita es pot calcular com:

\sum_{k=0}^n a_k = \sum_{k=0}^n a r^k = \frac{a_0 - a_n r}{1 - r} = \frac{a - a r^{n+1}}{1 - r}

Una sèrie geomètrica infinita convergent ha de complir |r| < 1. En aquest cas es pot obtenir el resultat de la suma com una particularització de la fórmula anterior.

\sum_{k=0}^n a_k = \sum_{k=0}^n a r^k = \frac{a_0}{1 - r} = \frac{a}{1 - r}

La sèrie geomètrica de raó 1/4 d'Arquimedes equival a:

\sum_{k=0}^\infty 4^{-k} = 1+4^{-1}+4^{-2}+4^{-3}+...=\frac{4}{3}