Progressió geomètrica

De Viquipèdia

En matemàtiques una progressió geomètrica és una successió de nombres que compleix que el quocient entre qualsevol dos membres successius de la successió és una constant anomenada raó comuna o factor de progressió de la successió.

A vegades, es pot utilitzar com a concepte abstracte, normalment es fa servir com a contrapunt a progressió aritmètica, indicant la geomètrica un creixement ràpid i l'aritmètica un de no tant ràpid.

Una successió geomètrica es pot escriure com;

$a_n=ar^n=a,ar,ar^2,ar^3,...\,$

On r ≠ 0 és el factor de progressió i a és el nombre inicial.

Qualsevol element es pot obtenir a partir de l'element anterior multiplicant-lo per la raó.

$a_n = a_{n-1} r\,$

[edita] Exemples

Una successió amb $r = 2$ i $a = 1$ és

$a_n = 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...\,$

Una successió amb $r = 2 / 3$ i $a = 729$ és

$a_n = 729 (1, \frac{2}{3}, \frac{4}{9}, \frac{8}{27}, \frac{16}{81}, ...) = 729, 486, 324, 216, 144, ...$

Una successió amb $r = - 1$ i $a = 3$ és

$a_n = 3 (1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, ...) = 3, -3, 3, -3, 3, -3, 3, -3, 3, -3, ...\,$

[edita] Sèries Geomètriques

Article principal: Sèrie geomètrica

Una sèrie geomètrica és el sumatori dels nombres en una progressió geomètrica:

$\sum_{k=0}^{n} a r^k = a r^0+a r^1+a r^2+a r^3+\cdots+a r^n \,$

Una sèrie geomètrica finita es pot calcular com:

$\sum_{k=0}^n a_n = \sum_{k=0}^n a r^n = \frac{a_0 - a_n r}{1 - r} = \frac{a - a r^{n+1}}{1 - r}$

Una sèrie geomètrica infinita convergent ha de complir $| r | < 1$ . En aquest cas es pot obtenir el resultat de la suma com una particularització de la fórmula anterior.

$\sum_{k=0}^n a_n = \sum_{k=0}^n a r^n = \frac{a_0}{1 - r} = \frac{a}{1 - r}$