Tern pitagòric

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Representació dels terns pitagòrics amb c<4500. L'abscissa i l'ordenada corresponen als nombres a i b i la distància a l'origen, al nombre c.

En matemàtiques, especialment dins la teoria dels nombres, un tern pitagòric és format de tres nombres naturals a, b i c tals que a²+b²=c².

Si (a,b,c) és un tern pitagòric, aleshores (ka,kb,kc) també és un tern pitagòric, per a qualsevol nombre natural k. En un tern pitagòric primitiu els tres nombres són primers entre si. Els primers terns pitagòrics primitius són (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29)...

Fórmula d'Euclides[modifica | modifica el codi]

Euclides, als seus Elements, demostrà que existeix una infinitat de terns pitagòrics primitius. A més, trobà una fórmula que genera tots els terns pitagòrics primitius. Donats dos nombres naturals m>n, el tern (a,b,c), on:

a = m^2 - n^2,\,
b= 2mn,\,
c = m^2 + n^2,\,

és pitagòric, i és primitiu si i només si m i n són primers entre si i tenen paritats distintes.

3, 4 i 5[modifica | modifica el codi]

El primer tern pitagòric és format pels nombres 3, 4 i 5, ja que 3^2+4^2=5^2. A més, els nombres 3, 4 i 5 juguen un rol important en tots els terns pitagòrics. Es pot provar, per la definició o per la fórmula d'Euclides, que en un tern pitagòric primitiu:

  • exactament un dels nombres a o b és múltiple de 3;
  • exactament un dels nombres a o b és múltiple de 4;
  • exactament un dels nombres a, b o c és múltiple de 5;

Vegeu també[modifica | modifica el codi]


A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Tern pitagòric Modifica l'enllaç a Wikidata