Triangle de Tartaglia

De Viquipèdia

Cada nombre del triangle és la suma dels dos inmediatament superiors.

El triangle de Tartaglia, també anomenat triangle de Pascal, és un esquema matemàtic utilitzat per la potenciació de binomis.

Donat un binomi a+b elevat a n , pel binomi de Newton es dóna la següent relació:

${(a+b)}^{n}=\sum_{k=0}^{n} c_i a^{n-k}b^{k}=(a+b)^n =$ $= c_0 \cdot a^n + c_1 \cdot a^{n-1} \cdot b + c_2 \cdot a^{n-2} \cdot b^2 +\ldots+ c_{n-2} \cdot a^2 \cdot b^{n-2}+ c_{n-1} \cdot a \cdot b^{n-1} + b^n$

El triangle de Tartaglia, ens permet saber els valors que prenen els factors $c_0, c_1, c_2, ... , c_n \$ .

Es comença amb un 1.

Després s'escriuen dos 1 a sota.

                                        1
                                     1     1

A les següents files, els números son el resultat de sumar els dos números immediatament superiors. Els números situats als laterals, són sempre 1.

                                        1
                                     1     1
                                  1     2     1
                               1     3     3     1
                            1     4     6     4     1
                         1     5     10    10    5     1
                      1     6     15    20    15    6     1
                   1     7     21    35    35    21    7     1
                1     8     28    56    70    56    28    8     1
             1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
          1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1
       1     11    55    165   330   462   462   330   165   55    11    1
    1     12    66    220   495   792   924   792   495   220   66    12    1
 1     13    78    286   715   1287  1716  1716  1287  715   286   78    13    1

En el triangle, podem buscar el coeficient binomial $c_i={n \choose i}$ del desenvolupament de $(a + b) n$ de la següent manera.

En el triangle busquem la filera n, començant des del 0. Notem que la filera té n+1 termes. Movent-nos en aquesta filera, el coeficient $c i$ és el terme i-èsim de la filera.

Exemples:

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \$

$(a+b)^3=a^3+3a^2 b+3a b^2+b^3 \$

$(a+b)^4=a^4 + 4a^3 b + 6a^2 b^2+4a b^3 +b^4 \$

$(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3 b^2+10a^2 b^3+5a b^4+ b^5 \$

[edita] Propietats

El triangle de Tartaglia té diverses propietats interessants.

En primer lloc, notem que el resultat de sumar els elements de cada fila dóna una potència de 2: $1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, \ldots$ . Aquest fet és conseqüència immediata del binomi de Newton, ja que:

$2^n= (1+1)^n= {n \choose 0} 1^n + {n \choose 1} 1^{n-1}\cdot1 + {n \choose 2} 1^{n-2}\cdot1^2 + \ldots + {n \choose n-1} 1\cdot 1^{n-1} + {n \choose n} 1^n = {n \choose 0} + {n \choose 1} + \ldots + {n \choose n}$

Les fileres de cada triangle són simètriques, ja que: ${n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}= {n \choose n-k}$

Triangle de Sierpinski.

Si ens quedem tan sols amb els múltiples de dos, el triangle guarda una certa similitud amb el triangle de Sierpinski. Aquesta similitud es veu encara més clara si considerem tan sols els múltiples de tres, de cinc, i en general, dels nombres primers.

Diagonals:
- Les diagonals externes són sempre uns.
- Una diagonal més interior dóna els nombres naturals (1,2,3,4,5,...)
- La següent diagonal més interior (1,3,6,10,...) són nombres triangulars, és a dir, nombres amb què es poden construir triangles.
- La quarta diagonal correspon als nombres tetraèdrics (s'hi poden construir tetràedres).
- A la cinquena diagonal hi ha els nombres pentatòpics, que representen el nombre d'elements dels pentatops.