Usuari:Mcapdevila/Funció theta

En matemàtiques, les funcions theta de Jacobi són funcions especials útils en l'anàlisi complexa, les funcions $\vartheta _{1}(z,q)\vartheta _{2}(z,q)\vartheta _{3}(z,q)\vartheta _{4}(z,q)$, que van ser presentades pel matemàtic alemany Carl Gustav Jacob Jacobi en la teoria de la funció el·líptica el 1829. Són definides respectivament per les sèries:

$\vartheta _{1}(z,q)=2q^{1/4}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}q^{n(n+1)}\sin[(2n+1)z],$

$\vartheta _{2}(z,q)=2q^{1/4}\sum _{n=0}^{\infty }q^{n(n+1)}\cos[(2n+1)z],$

$\vartheta _{3}(z,q)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}\cos(2nz),$

$\vartheta _{4}(z,q)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}\cos(2nz),$

en què $q\in \mathbb {R}$ e $q<1$. Les sèries són convergents en el seu conjunt pla complex, és a dir, per a $z\in \mathbb {C}$.

La importància de les funcions theta de Jacobi en la teoria de funcions el·líptiques ve de la possibilitat d'expressar totes les funcions el·líptiques de Jacobi com el quocient de dues funcions theta (vegeu les fórmules 16.36.3-16.36.7 d'Abramowitz i Stegun, i la prova de Whittaker i Watson).

Bibliografia

• C. G. J. Jacobi: Gesammelte Werke (Berlín: G. Reimer, 1881-1891) (alemany).
• E. Pascal: Teoria delle funzioni ellittiche (Milà: U. Hoepli 1896) (capítol 1).
• H. Hancock: Lectures on the theory of elliptic functions (Nova York: J. Wiley & sons, 1910) (capítol 10) (anglès).
• E. T. Whittaker i G. N. Watson: A course of modern analysis (Cambridge University Press, 1915) (capítols 21 i 22) (anglès).
• M. Abramowitz i I. Stegun: Handbook of Mathematical Functions (Dover, 1972) p. 576 (anglès).