Usuari:Mcapdevila/Geometria el·líptica

La geometria el·líptica (anomenada de vegades riemanniana) és un model de geometria que satisfà només els quatre primers postulats de la geometria euclidiana. Tot i que és similar en molts aspectes i molts dels teoremes de la geometria euclidiana continuen sent vàlids en geometria el·líptica, no s'hi satisfà el cinquè postulat d'Euclides sobre les paral·leles. Igual que la geometria euclidiana i la geometria hiperbòlica és un model de geometria de curvatura constant, sent la diferència entre aquests tres models el valor de la curvatura:

• La geometria euclidiana satisfà els cinc postulats d'Euclides i té curvatura zero.
• La geometria hiperbòlica satisfà només els quatre primers postulats d'Euclides i té curvatura negativa.
• La geometria el·líptica satisfà només els quatre primers postulats d'Euclides i té curvatura positiva.

Història

Un cop acceptat com a igualment natural el model de geometria hiperbòlica en què es rebutjava el cinquè postulat d'Euclides sobre les rectes paral·leles, els matemàtics van buscar nous sistemes geomètrics que incomplissin el cinquè postulat. Un d'aquests models el constitueix la superfície d'una esfera, considerada bidimensional.

A la geometria hiperbòlica, donat un punt exterior a una recta sempre és possible obtenir més d'una "recta paral·lela" a la primera que passi per aquest punt. A la geometria el·líptica, donada una "recta" -d'aquesta geometria- i un punt exterior a aquesta, no hi ha cap "recta paral·lela" que no intersecta la primera. De fet, en el model convencional de geometria el·líptica aquestes "rectes" corresponen localment a "segments" de mínima longitud i de curvatura mínima, i arcs de cercle màxim de l'esfera que serveix com a model de la geometria hiperbòlica (no són rectes de l'espai euclidià). Cal tenir en compte que d'acord amb la teoria de models els conceptes "punt", "recta" i "paral·lela" poden interpretar-se com diferents tipus d'entitats, segons el model triat per representar els axiomes de la geometria.

Models de la geometria el·líptica

Hi ha diverses "realitzacions euclidianes" de la geometria el·líptica, és a dir, hi ha models que satisfan els postulats de la geometria euclidiana que poden ser visualitzats com a objectes immersos dins d'un espai euclidià de dimensió superior:

• Model (hiper) esfèric, una superfície esfèrica bidimensional, immersa en un espai euclidià tridimensional és el model més simple que satisfà els postulats de la geometria el·líptica bidimensional. Anàlogament el conjunt de vectors unitaris de $\mathbb {R} ^{n+1}$ també anomenat n -esfera $S^{n}\;$ és un model de geometria el·líptica n -dimensional.
• Model projectiu.
• Projecció estereogràfica.

Aquest model de curvatura constant positiva admet també una representació com varietat riemanniana amb un tensor mètric donat per:

$g=a^{2}(dx\otimes dx+\sin ^{2}x\ dy\otimes dy)$

On a és una constant relacionada amb la curvatura K = 1/ a ² , i les coordenades ( x, y ) cobreixen un conjunt obert de la superfície esfèrica donat per:

$(x,y)\in (0,\pi )\times (0,2\pi )$

Igualment, una hiperesfera de dimensió n, que està immersa en l'espai euclidià n+1 dimensional és un model de geometria n-dimensional.

Vegeu també

• Geometria euclidiana
• Geometria hiperbòlica