Distància euclidiana

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, la distància euclidiana o mètrica euclidiana és la distància ordinària entre dos punts que es mesuraria amb un regle, i ve donada per la fórmula o teorema de Pitàgores. Utilitzant aquesta fórmula com a distància, l'espai euclidià (o qualsevol espai amb produce interior) esdevé un espai mètric. La norma associada s'anomena la norma euclidiana. La literatura antiga es refereix a aquesta mètrica com la mètrica pitagòrica.

Definició[modifica | modifica el codi]

La distància euclidiana entre els punts P\, i Q\, és la longitud del segment de línia \overline{PQ}. En coordenades cartesianes, si \,P = (p_1, p_2, \dots p_3) i \,Q = (q_1, q_2, \dots q_3) són dos punts en un espai euclidià de dimensió n, aleshores la distància de P\, a Q\, ve donada per:

\mathrm{d}(P,Q) = \sqrt{(p_1-q_1)^2 + (p_2-q_2)^2 + \cdots + (p_n-q_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (p_i-q_i)^2}

La norma euclidiana mesura la distància d'un punt a l'origen de l'espai euclidià, i és igual al mòdul del vector de posició del punt:

\|\vec{r_P}\| = \sqrt{p_1^2+p_2^2+\cdots +p_n^2} = \sqrt{\vec{r_P}\cdot\vec{r_P}}

on la darrera equació és el producte escalar. La distància entre dos punts ve donada pel mòdul del vector que els uneix:

\|\vec{PQ}\| = \|\vec{r_P} - \vec{r_Q}\| = \sqrt{(P-Q)\cdot(P-Q)} = \sqrt{\|\vec{r_P}\|^2 + \|\vec{r_Q}\|^2 - 2\vec{r_P}\cdot\vec{r_Q}}

Casos especials[modifica | modifica el codi]

En una dimensió, la distància entre dos punts a la recta real és el valor absolut de la seva diferència numèrica. Per tant, si x i y són dos punts a la recta real, aleshores la distància entre ells es calcula com:

\sqrt{(x-y)^2} = |x-y|

Vegeu també[modifica | modifica el codi]


Referències[modifica | modifica el codi]

  • Elena Deza & Michel Marie Deza (2009) Encyclopedia of Distances, page 94, Springer.