Espai T1

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

En topologia, un espai T1 o de Fréchet es un cas particular d'espai topològic.

Definició[modifica]

Un espai topològic és si per a cada parella d'elements diferents i d' existeix un obert que conté i no i un obert que conté i no . Noti's que no es necessari que aquests dos oberts siguin disjunts, cas en què estaríem parlant d'espais de Hausdorff o ).

Propietats[modifica]

Sigui un espai topològic. Són equivalents:

  • és un espai .
  • és un espai i un espai .
  • Per a cada d', és tancat.
  • Tot conjunt d'un únic punt és la intersecció dels seus entorns.
  • Tot subconjunt d' és la intersecció dels seus entorns.
  • Tot subconjunt finit d' és tancat.
  • Tot subconjunt cofinit d' és obert.
  • L'ultrafiltre principal d' convergeix només a .
  • Per a cada punt d' i tot subcojunt d', és un punt adherent de si i només si és un punt d'acumulació de .

A més a més, la propietat de separació T1 és hereditària, la qual cosa significa que els subespais d'un espai T1 també són T1.[1]

Nota i casos[modifica]

  • Sigui , on i és finit. Aleshores T es una estructura topològica sobre ℕ, anomenada estructura topològica cofinita que és T1 però no T2.[2]
  • Qualsevol espai T1 finit és un espai topològic discret.[3]
  • Sigui i la topologia que consisteix dels subconjunts de X següents: , , , , no és T1, ja que no és tancat.[4]

Teorema[modifica]

Un espai topològic és T1 si i només si cada punt és un conjunt tancat.[3][5]

Exemples[modifica]

Referències[modifica]

  1. Llopis, José L. «Propietats topològiques hereditàries» (en castellà). Matesfacil. ISSN: 2659-8442 [Consulta: 11 octubre 2019].
  2. Ayala y otros: "Elementos de topología general" ISBN 84-7829-006-0
  3. 3,0 3,1 Simmons: Introduction to Topology and Modern Analysis
  4. Llopis, José L. «Exemples i propietats dels espais topològics finits» (en castellà). Matesfacil. ISSN: 2659-8442 [Consulta: 11 octubre 2019].
  5. Llopis, José L. «Espai topològic de Fréchet T1» (en castellà). Matesfacil. ISSN: 2659-8442 [Consulta: 13 octubre 2019].
  6. Sapiña, R. «Topología cofinita» (en castellano). Problemas y Ecuaciones. ISSN: 2659-9899 [Consulta: 13 octubre 2019].
  7. Sapiña, R. «Espacio de Sierpinski» (en castellano). Problemas y Ecuaciones. ISSN: 2659-9899 [Consulta: 13 octubre 2019].

Vegeu també[modifica]

Enllaços externs[modifica]