Quàdrica: diferència entre les revisions
cat Superfícies |
Cap resum de modificació |
||
Línia 1: | Línia 1: | ||
⚫ | En [[matemàtiques]], una '''quàdrica''' o '''superfície quàdrica''' és una hipersuperfície definida en un [[espai vectorial]] n-dimensional, pels punts que anul·len un [[polinomi]] quadràtic. Si les [[coordenada|coordenades]] d'aquest espai són <math>\left\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\right\}\,</math>, l'equació de qualsevol quàdrica en aquest espai serà <math>\sum_{i,j=1}^{n}P_{i,j}x_{i}x_{j}+\sum_{k=1}^{n}Q_{k}x_{k}+R=0\,</math>, on no tots els valors de <math>P_{(i,j)}\,</math> són iguals a <math>0\,</math>. |
||
==Definició== |
|||
⚫ | En matemàtiques, una ''quàdrica'' o ''superfície quàdrica'' és una hipersuperfície definida en un [[espai vectorial]] n-dimensional, pels punts que anul·len un [[polinomi]] quadràtic. Si les [[coordenada|coordenades]] d'aquest espai són <math>\left\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\right\}\,</math>, l'equació de qualsevol quàdrica en aquest espai serà <math>\sum_{i,j=1}^{n}P_{i,j}x_{i}x_{j}+\sum_{k=1}^{n}Q_{k}x_{k}+R=0\,</math>, on no tots els valors de <math>P_{(i,j)}\,</math> són iguals a <math>0\,</math>. |
||
En general, els coeficients d'aquesta equació seran valors de qualsevol [[Cos (matemàtiques)|cos]], sobre el que s'ha definit l'[[espai vectorial]]. Malgrat això, a partir d'ara, només considerarem quàdriques sobre el cos <math>\mathbb{R}\,</math>. |
En general, els coeficients d'aquesta equació seran valors de qualsevol [[Cos (matemàtiques)|cos]], sobre el que s'ha definit l'[[espai vectorial]]. Malgrat això, a partir d'ara, només considerarem quàdriques sobre el cos <math>\mathbb{R}\,</math>. |
||
Línia 67: | Línia 65: | ||
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=-1\,</math> |
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=-1\,</math> |
||
|[[el·lipsoide]] imaginari. |
|[[el·lipsoide]] imaginari. |
||
|[[Image:Quadric Ellipsoid.jpg|150px]] |
|||
|- |
|- |
||
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^2}=1\,</math> |
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^2}=1\,</math> |
||
Línia 85: | Línia 84: | ||
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+z=0\,</math> |
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+z=0\,</math> |
||
|[[Paraboloide|Paraboloide el·líptic]] |
|[[Paraboloide|Paraboloide el·líptic]] |
||
|[[Image:Quadric Elliptic Paraboloid.jpg|150px]] |
|||
|- |
|- |
||
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1\,</math> |
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1\,</math> |
||
Línia 97: | Línia 97: | ||
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}+z=0\,</math> |
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}+z=0\,</math> |
||
|[[Paraboloide]] hiperbòlic |
|[[Paraboloide]] hiperbòlic |
||
|[[Image:Quadric Hyperbolic Paraboloid.jpg|150px]] |
|||
|- |
|- |
||
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\,</math> |
|<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\,</math> |
||
Línia 122: | Línia 123: | ||
També existeix la possibilitat d'un [[conjunt|conjunt buit]] i de la tot l'[[espai]]. |
També existeix la possibilitat d'un [[conjunt|conjunt buit]] i de la tot l'[[espai]]. |
||
[[Categoria: |
[[Categoria:Superfícies quàdriques]] |
||
[[Categoria:Superfícies]] |
|||
[[ar:سطح ثنائي]] |
[[ar:سطح ثنائي]] |
Revisió del 12:26, 29 març 2008
En matemàtiques, una quàdrica o superfície quàdrica és una hipersuperfície definida en un espai vectorial n-dimensional, pels punts que anul·len un polinomi quadràtic. Si les coordenades d'aquest espai són , l'equació de qualsevol quàdrica en aquest espai serà , on no tots els valors de són iguals a . En general, els coeficients d'aquesta equació seran valors de qualsevol cos, sobre el que s'ha definit l'espai vectorial. Malgrat això, a partir d'ara, només considerarem quàdriques sobre el cos .
Còniques
En el cas concret que , les quàdriques resultants, prenen el nom de còniques, i l'anterior equació pren la forma: . El nom de còniques prové del fet que es pot demostrar que qualsevol cònica és la intersecció d'un cert con per un determinat pla. L'anterior equació es pot escriure de la forma matricial següent:
On:
Segons la forma canònica que adopti la matriu , trobem les diferents solucions que tenen les còniques ( són valors reals, diferents de ):
el·lipse imaginària. | |
el·lipse real. | |
dues rectes imaginàries no paral·leles. | |
hipèrbola. | |
dues rectes reals no paral·leles. | |
paràbola. | |
dues rectes imaginàries paral·leles. | |
dues rectes reals paral·leles. | |
dues rectes coincidents. | |
una recta real. |
També existeix la possibilitat d'un conjunt buit i la de tot el pla.
Quàdriques
Més amunt hi ha la definició general de quàdrica. Però, normalment s'entén per quàdrica el cas concret en què . En aquest cas, la matriu , serà: de la forma: Si
l'equació de la quàdrica serà també:
Si es classifica les seves formes canòniques, es troba la següent llista:
el·lipsoide imaginari. | ||
el·lipsoide real | ||
con imaginari | ||
Hiperboloide el·líptic | ||
Hiperboloide hiperbòlic | ||
Con real | ||
Paraboloide el·líptic | ||
Superfície cilíndricaimaginària | ||
Superfície cilíndrica el·líptica | ||
Dos plans imaginaris no paral·lels | ||
Paraboloide hiperbòlic | ||
Superfície cilíndrica hiperbòlica | ||
Dos plans reals no paral·lels | ||
Superfície cilíndrica parabòlica | ||
Dos plans imaginaris paral·lels | ||
Dos plans reals paral·lels | ||
Dos plans reals coincidents | ||
Un pla únic real |
També existeix la possibilitat d'un conjunt buit i de la tot l'espai.