Vés al contingut

Equació diferencial ordinària: diferència entre les revisions

m
Diacrítics
m (Plantilla)
m (Diacrítics)
té la forma
:<math>z^n e^{zx} + A_1 z^{n-1} e^{zx} + \cdots + A_n e^{zx} = 0</math>
per tant, dividint per <math>e^{zx}</math> dónadona el polinomi d'ordre ''n''
:<math>F(z) = z^{n} + A_{1}z^{n-1} + \cdots + A_n = 0</math>
És a dir, els termes
:<math>\frac {d^{k}y} {dx^{k}}\quad\quad(k = 1, 2, \cdots, n).</math>
de l'equació diferencial original es reemplacen per ''z''<sup>''k''</sup>. Solucionar el polinomi dónadona ''n'' valors de ''z'', <math>z_1, \dots,z_n</math>. Posant aquests valors a <math>e^{z_i x}</math> ens dónadona una [[Base (àlgebra lineal)|base]] per la solució; qualsevol [[combinació lineal]] d'aquests <math>e^{z_i x}</math> satisfarà l'equació diferencial.
 
Aquesta equació ''F''(''z'') = 0, és l'[[equació característica]] més considerada per [[Monge]] i [[Cauchy]].
Però <math>P(D)y_j=0</math>, per tant
:<math>f=u'_1y^{(n-1)}_1+u'_2y^{(n-1)}_2+\cdots+u'_ny^{(n-1)}_n</math>
Això, amb les restriccions, dónadona un sistema lineal en la <math>u'_j</math>. Tot això sempre es pot resoldre; de fet, combinant la [[regla de Cramer]] amb el [[Wronskià]],
:<math>u'_j=(-1)^{n+j}f\frac{W(y_1,\ldots,y_{j-1},y_{j+1}\ldots,y_n)}{W(y_1,y_2,\ldots,y_n)}</math>
La resta és qüestió d'integrar <math>u'_j</math>.
=== EDO lineals amb coeficient variable ===
==== Mètode de coeficients indeterminats ====
El mètode de coeficients indeterminats és útil per trobar solucions per <math>y_p </math>. Donada l'EDO <math>P(D)y = f(x)</math>, se n'ha de trobar una altra [[operador diferencial]] <math>A(D)</math> tal que <math>A(D)f(x) = 0</math>. Aquest operador s'anomena l''''anihilador'''. Així el mètode de coeficients indeterminats també s'anomena el '''mètode anihilador'''. Aplicant <math>A(D)</math> a ambdós costats de l'EDO dónadona una EDO homogència <math>\big(A(D)P(D)\big)y = 0</math> per la qual es troba una base de solucions <math>\{y_1,\ldots,y_n\}</math> com abans. Llavors l'EDO original no homogència s'usa per construir un sistema d'equacions restringint els coeficients de les combinacions lineals per satisfer l'EDO.
 
Els coeficients indeterminats no són tan generals com la variació de paràmetres en el sentit que l'anihilador no sempre existeix.
+c_4(-k^2+4ik+5)(\cos(kx)-i\sin(kx))</math>
|}
que dónadona el sistema
:<math>i=(k^2+4ik-5)c_3+(-k^2+4ik+5)c_4</math>
:<math>0=(k^2+4ik-5)c_3+(k^2-4ik-5)c_4</math>
de solucions
:<math>c_3=\frac i{2(k^2+4ik-5)}</math>, <math>c_4=\frac i{2(-k^2+4ik+5)}</math>
que dónadona el conjunt de solucions
:{|
|-
===== Exemple =====
Resoldre l'exemple anterior, <math>y'' + y = \sec x</math>.
Recordant que <math>\sec x = \frac{1}{{\cos x}} = f</math>. Mitjançant la tècnica ja descrita, LHS té l'arrel de <math>r = \pm i</math> que dónadona <math>y_c = C_1 \cos x + C_2 \sin x</math>, (per tant, <math>y_1 = \cos x</math>, <math>y_2 = \sin x</math>) i les seves derivades
:<math>\left\{ {\begin{matrix}
{\dot u = \frac{{ - y_2 f}}{W} = \frac{{ - \sin x}}{{\cos x}} = \tan x} \\
2.749.062

modificacions