Floc de neu de Koch

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca
Floc de neu de Koch

El floc de neu de Koch (també anomenat estel de Koch o illa de Koch)[1] és un conjunt geomètric i una de les primeres corbes fractals que es varen descriure. Va aparèixer per primera vegada el 1904 en l'article titulat Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire, del matemàtic suec Helge von Koch. La construcció d'aquesta corba és un procés iteratiu que comença amb un triangle equilàter, i en el qual a cadascun dels costats es construeix una corba de Koch.


La corba de Koch és un cas especial de la corba de Rham. És una corba continua però, no diferenciable en cap punt.[2] [3]

Construcció[modifica]

Per construir una corba de Koch se segueix un procés iteratiu, començant des d'un segment de línia recta, de la manera següent:

  1. Es divideix el segment en tres parts de longitud igual.
  2. Es construeix un triangle equilàter amb base en el segment del mig del pas anterior.
  3. S'elimina el segment base del triangle del pas anterior.
  4. Es torna al pas 1, aplicant ara els passos a cada un dels segments que sorgeixen.

La corba de Koch és el límit de seguir el procediment anterior infinitament.

Construcció de la corba de Koch
1a iteració
2a iteració
3a iteració
4a iteració
5a iteració
6a iteració


Tres d'aquestes corbes unides formen el floc de neu de Koch i el antifloc de neu de Koch:

Floc de neu de Koch (5 iteracions).
Antifloc de neu de Koch (5 iteracions).


Propietats[modifica]

  • La corba de Koch té una longitud infinita, perquè a cada pas hi ha quatre vegades més segments que a l'anterior, i la longitud de cada un és una tercera part del segment anterior. Llavors, la longitud total creix 1/3 i la longitud de la corba construïda en el pas n serà , que en el límit serà una longitud infinita.
  • La dimensió fractal és , major que la dimensió d'una recta (1) i menor que la dimensió de la corba de Peano, que omple el pla (2).
  • La corba de Koch és contínua, però no és derivable en cap punt.
  • L'àrea del floc de neu de Koch és 8/5 del triangle inicial, i per tant un perímetre infinit engloba una àrea finita.

Variants de la corba de Koch[modifica]

Existeixen diverses variants de la corba de Koch, canviant l'angle de 60°, el triangle equilàter per un altre polígon o el conjunt inicial.

Variant Il·lustració Construcció
1D, angle 85°
Fractal de Cesàro (amb 85°).
Variant de la corba de Koch amb angle entre 60° i 90°. Dimensió de Hausdorff (85°) aproximada: 1.7848.
1D, angle 90°
Corba quadràtica de von Koch de tipus 1.
Variant de la corba de Koch amb angle de 90°. Dimensió de Hausdorff: ln(5)/ln(3) ≅ 1.4649.


1D, angle 90°
Salsitxa de Minkowski.
Variant de la corba de Koch amb angle de 90°. Dimensió de Hausdorff: 1.5.


1D
(5,0.2)-corba de von Koch.
Variant pentagonal de la corba de Koch. Dimensió de Hausdorff aproximada: 1.37898.[4] És una corba de Koch modificada.[5][6]


2D, triangles
Superfície de von Koch.
Variant de la corba de Koch sobre un triangle 2D.


Referències[modifica]

  1. Addison, Paul S. Fractals and Chaos: An Illustrated Course. Institute of Physics, 1997, p. 19. ISBN 0-7503-0400-6. 
  2. Koch, H. von. Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géometrique élémentaire. Arkiv för Matematik Astronomi och Fysik 1 (1904) 681-704.
  3. Koch, H. von. Une méthode géométrique élémentaire pour l'étude de certaines questions de la théorie des courbes planes. Acta Math. 30, 145-174, 1906. (Reproduce y amplía el artículo de 1904, puede consultarse online en archive.org)
  4. «Curvas de von Koch». [Consulta: 28 febrer 2019].
  5. K. Falconer «Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications». John Wiley, Chichester, UK, 1990.
  6. Ungar, Sime «The Koch Curve: A Geometric Proof.». The American Mathematical Monthly, Vol. 114, No. 1, 2007.

Enllaços externs[modifica]