Funció zeta de Dedekind

De Viquipèdia
Jump to navigation Jump to search
No s'ha de confondre amb Funció eta de Dedekind.

En matemàtica, la funció zeta de Dedekind és una sèrie de Dirichlet definida per a tot cos K de nombres algebraics, expressada com on és una variable complexa. És la suma infinita:

realitzada en tots els I ideals de l'anell dels enters de K , amb . On és la norma de I (al camp racional Q ): és igual a la cardinalitat de O K / I , en altres paraules, el nombre de classes de residu mòdul . En el cas en què K = Q aquesta definició es redueix a la funció zeta de Riemann.

Propietats[modifica]

Les propietats de com una funció meromòrfica resulten d'un considerable significat en la teoria de nombres algebraics. Té un producte d'Euler, amb un factor per a un donat nombre primer al producte sobre tots els ideals primers de dividint de

Aquesta és l'expressió en termes analítics de la unicitat de la factorització en primers dels ideals .

Se sap (demostrat en forma general primer per Erich Hecke) que té una continuació analítica cap a tot el pla complex com una funció meromorfa, tenint un pol simple només en s = 1. El residu en aquest pol és una quantitat important, que involucra invariants del grup unitari i del grup de classe de K , els detalls es troben a la fórmula de nombre de classe. Hi ha una equació funcional per a la funció zeta de Dedekind, que relaciona els seus valors en s i 1 - s .

Per al cas en què K és una extensió abeliana de Q , la seva funció zeta de Dedekind pot ser escrita com un producte de funcions L de Dirichlet. Per exemple, quan K és un cos quadràtic això mostra que la relació

és una funció L , L ( s , χ); on és un símbol de Jacobi com caràcter de Dirichlet. Que la funció zeta d'un cos quadràtic sigui un producte de la funció zeta de Riemann i una certa funció L de Dirichlet és una formulació analítica de la llei de Gauss de reciprocitat quadràtica.

En general si K és una extensió de Galois de Q amb grup de Galois G , la seva funció zeta de Dedekind té una factorització comparable en termes de funcions L de Artin. Aquestes estan associades a representacions lineals de G .

Referències[modifica]

Vegeu també[modifica]

Enllaços externs[modifica]