Llei del paral·lelogram

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Un paral. Els costats d'aquest estan mostrats en color blau i les diagonals en vermell.

En matemàtiques, la forma més simple de la llei del paral·lelogram pertany a la geometria elemental. Aquesta postula que la suma dels quadrats de les longituds dels quatre costats d'un paral·lelogram és igual a la suma dels quadrats de les longituds de les dues diagonals d'aquest. Utilitzant la notació del paral·lelogram mostrat en la figura de la dreta, es pot escriure matemàticament com:

En el cas que el paral·lelogram sigui un rectangle, les dues diagonals són iguals i la llei es dedueix al teorema de Pitàgores. Però en general, no es compleix que el quadrat d'una diagonal sigui igual a la suma dels quadrats de dos costats.

Llei del paral·lelogram per a espais amb producte intern[modifica | modifica el codi]

Dins dels espais proveïts de producte escalar, la definició de la llei del paral·lelogram es redueix a la identitat algebraica

on

és el producte escalar normat.

Espais vectorials normats que satisfan la llei del paral·lelogram[modifica | modifica el codi]

La majoria d'espais vectorials normats reals i complexos no tenen producte intern, però tots els espais vectorials normats tenen norma (per definició), i per tant es poden avaluar les expressions a banda i banda del "=" de la identitat anterior. Un fet notable és que si la identitat anterior es manté, aleshores la norma ha de sorgir de la manera habitual d'algun producte intern. A més, el producte intern que es genera mitjançant la norma és únic, com a conseqüència de la identitat de polarització, en el cas real, aquest ve donat per

o, equivalentment, per

En el cas complex, aquest ve donat per

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]