Mesura exterior

En Matemàtiques, i més concretament en Teoria de la mesura i Teoria de la probabilitat, una mesura exterior és una funció definida en tots els subconjunts d'un conjunt que pren valors en la recta real estesa, no negativa i numerablement subadditiva. Les mesures exteriors en espais generals van ser introduïdes per Constantin Carathéodory (1938 i 1956, en un llibre pòstum) com a culminació de diversos treballs previs (1914, 1918, etc.) a partir dels treballs de Jordan (1892) i Lebesgue (1902) . L'objectiu era proporcionar un base abstracta per a la teoria de conjunts mesurables i de les mesures numerablement additives. L'obra de Carathéodory sobre mesures exteriors va trobar moltes aplicacions en la teoria de conjunts des del punt de vista de la mesura (per exemple, s'utilitzen mesures exteriors en la demostració del teorema d'extensió de Carathéodory), i Hausdorff la va utilitzar de forma essencial per definir la mètrica dimensional invariant avui coneguda com dimensió de Hausdorff-Bezikóvitx. També s'utilitzen habitualment mesures exteriors en el camp de la teoria de la mesura geomètrica.

Definició

Donat un conjunt $X,$ sigui ${\mathcal {P}}(X)$ la col·lecció de tots els subconjunts de $X$. Una mesura exterior en $X$ és una funció de conjunts $$\mu ^{*}:{\mathcal {P}}(X)\to [0,\infty ]$$tal que

• El conjunt buit té mesura exterior nul·la: $\mu ^{*}(\varnothing )=0$.
• Monotonia: si $A$ i $B$ són subconjunts de $X$ amb $A\subseteq B,$ llavors $\mu ^{*}(A)\leq \mu ^{*}(B)$.
• Subadditivitat numerable: Per subconjunts arbitraris $B_{1},B_{2},\ldots$ de $X,$$$\mu ^{*}\left(\bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu ^{*}(B_{j}).\qquad (1)$$De fet, les propietats de la definició són redundants i pot simplificar-se de la següent manera: Una mesura exterior en $X$ és una funció de conjunts $$\mu ^{*}:{\mathcal {P}}(X)\to [0,\infty ]$$tal que

• $\mu ^{*}(\varnothing )=0$
• Donats subconjunts arbitraris $A,B_{1},B_{2},\ldots$ de $X,$$${\text{si}}\ A\subseteq \bigcup _{j=1}^{\infty }B_{j},{\text{ llavors }}\mu ^{*}(A)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu ^{*}(B_{j}).$$

Noti's que el sumatori infinit està ben definit ja que es suposa que tots els sumands són no negatius i la seqüència de sumes parcials només podria divergir si creixés sense fita. Així doncs, la suma infinita que apareix en la definició sempre serà un element ben definit de $[0,\infty ].$ Si, en canvi, es permetés que la mesura exterior prengués valors negatius, la seva definició hauria de ser modificada per tenir en compte la possibilitat de sumatoris infinits no convergents.

Aquesta definició va ser introduïda per Carathéodory (traducció anglesa) després de nombrosos treballs, a partir de la noció de contingut exterior de Jordan i de mesura exterior de Lebesgue. Per als detalls històrics, vegeu

Donat un conjunt $X$, recordem que una mesura és una aplicació ${\displaystyle \nu$ :{\mathcal {A}}\to [0,\infty ]} on ${\mathcal {A}}$ és una $\sigma$ -àlgebra de conjunts de $X$, tal que

1. El conjunt buit té mesura zero $\nu (\emptyset )=0$.
2. És $\sigma -$additiva (o numerablement additiva): Si $A_{1},A_{2},\dots \in {\mathcal {A}}$ són disjunts dos a dos, $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$, per a qualsevol parell $i\neq j$ , aleshores

$$\nu {\Big (}\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\nu (A_{i}).\qquad (2)$$Comparant les definicions de mesura exterior i de mesura es veu que ni tota mesura exterior és una mesura, ja que la condició (1) és molt més fluixa que la (2) (vegeu un exemple més avall), ni una mesura és, en general, una mesura exterior, ja que les mesures exteriors estan definides per a tots els subconjunts de $X$, mentre que les mesures estan definides només pels elements d' ${\mathcal {A}}$, i, excepte casos senzills (que $X$ sigui finit o infinit numerable), ${\mathcal {A}}\varsubsetneq {\mathcal {P}}(X)$. Vegeu un exemple més endavant.

Comentaris sobre la notació i la nomenclatura. La notació $\mu ^{*}$ fa referència a que una mesura exterior és, habitualment, un pas per construir una mesura que es designarà per $\mu$. També el nom <<mesura exterior>> té el sentit que és un objecte per construir un objecte més important, que és una mesura, i per tant obeeix al principi de nomenclatura matemàtica que els noms més curts i bonics s'han de reservar pels objectes més importants i que surten més en els enunciats dels teoremes o demostracions.

Exemple. Una mesura exterior que no és una mesura. Aquest és un exemple molt simple que la propietat (1) no implica la propietat (2). Sigui $X=\{1,2\}$ i definim $$\mu ^{*}(\emptyset )=0,\quad \mu ^{*}{\big (}\{1\}{\big )}=\mu ^{*}{\big (}\{2\}{\big )}=1\quad {\text{i}}\quad \mu ^{*}(X)=3.$$És una mesura exterior, però no és una mesura (amb la $\sigma$-àlgebra ${\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(X)).$

Exemple: Mesura exterior de Lebesgue al pla

En aquesta construcció seguirem Tao . Un conjunt de la forma $$C=(a_{1},b_{1})\times (a_{2},b_{2})$$ amb $a_{1},b_{1},a_{2},b_{2}\in \mathbb {R} ,{\text{ amb }}\ a_{1}\leq b_{1},a_{2}\leq b_{2}$, s’anomena rectangle obert, o, en aquest article, senzillament rectangle. La seva àrea es defineix per$$\operatorname {Area} (C)=(b_{1}-a_{1})\,(b_{2}-a_{2}).$$

Figura 1. Els quadrats en blau formen un recobriment del conjunt A (en verd)

Un recobriment d'un conjut $A\subset \mathbb {R} ^{2}$ és una col·lecció finita o infinita numerable de rectangles $C_{1},C_{2},\ldots \subset \mathbb {R} ^{d}$ (no cal que siguin disjunts dos a dos) tal que $A\subset \bigcup _{i}C_{i}.$ Vegeu la Figura 1.

Denotarem un recobriment per $(C_{i})$ i per ${\mathcal {R}}(A)$ el conjunt de tots els recobriments d’$A$:$${\mathcal {R}}(A)=\{(C_{i}):A\subset \bigcup _{i}C_{i}\}.$$

Definim la mesura exterior de Lebesgue d’$A$ per$$\lambda ^{*}(A)=\inf \left\{\sum _{i}\operatorname {Area} (C_{i})\,:\,(C_{i})\in {\mathcal {R}}(A)\right\}.$$

Del fet que $\mathbb {R} ^{2}$ es pot recobrir per una col·lecció numerable de rectangles, deduïm que per qualsevol conjunt $A$ tenim que ${\mathcal {R}}(A)\neq \emptyset$ , i, per tant, qualsevol conjunt té mesura exterior de Lebesgue ben definida. A més, per construcció, $\lambda ^{*}(A)\geq 0$, però pot ser zero o infinita. Així, tenim una aplicació $\lambda ^{*}:{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{2})\longrightarrow [0,+\infty ].$ Es demostra que $\lambda ^{*}$ és una mesura exterior.

Demostracions

$\bullet$ L'espai $\mathbb {R} ^{2}$ es pot recobrir per una col·lecció numerable de rectangles. Això es dedueix del fet que la recta real $\mathbb {R}$ es pot recobrir per intervals oberts. Per exemple,$$\mathbb {R} =\bigcup _{k\in \mathbb {Z} }(k,k+1+\delta ),$$on $\delta >0$ és un nombre real arbitrari.

$\bullet$ Demostració que $\lambda ^{*}$ és una mesura exterior.

1 ) $\lambda ^{*}(\varnothing )=0$. A la definició de rectangle hem permès l’existència de capses degenerades, com per exemple $(a_{1},a_{1})\times (a_{2},b_{2}).$ Tenim que $\varnothing =(a_{1},a_{1})\times (a-2,b_{2})$ és un recobriment del conjunt buit $\varnothing$, i $$\operatorname {Vol} (\varnothing )=0\cdot (b_{2}-a_{2})=0.$$D’aquí resulta $0\in {\big \{}\sum _{i}{\text{Area}}(C_{i}),\ (C_{i})\in {\mathcal {R}}(\emptyset ){\big \}}$i com que tots elements d'aquest conjunt són no negatius, deduïm que $(\lambda ^{*}\varnothing )=0$.

2) Si $A\subset B$, llavors $\lambda ^{*}(A)\leq \lambda ^{*}(B)$. En efecte, si $A\subset B$, llavors ${\mathcal {R}}(A)\supset {\mathcal {R}}(B)$, ja que tot recobriment de $B$ també ho serà d’$A$. Així,$${\Big \{}\sum \operatorname {Area} (C_{i}):(C_{i})\in R(A){\Big \}}\supset {\Big \{}\sum \operatorname {Area} (C_{i}):(C_{i})\in R(B){\Big \}}.$$Però si tenim dos conjunts de nombres reals $U\supset V$, aleshores $\inf U\leq \inf V$. D’on surt la propietat que volíem.

4) Subadditivitat numerable. Siguin $A_{1},A_{2},\ldots \subset \mathbb {R} ^{2}$. Llavors $$\lambda ^{*}\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\leq \sum _{n=1}^{\infty }\lambda ^{*}(A_{n}).$$

Prova. Podem suposar que per a tot $n\geq 1$, $\lambda ^{*}(A_{n})<\infty$, ja que en cas contrari la desigualtat és trivial. Per la definició d’ínfim, donat $\varepsilon >0$ arbitrari, per a cada $n\geq 1$ existeix un recobriment $(C_{i}^{(n)})\in R(A_{n})$ tal que$$\sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {Area} (C_{i}^{(n)})\leq \lambda ^{*}(A_{n})+{\frac {\varepsilon }{2^{n}}}.$$

(Per simplificar l'exposició suposarem que els recobriments tenen un nombre infinit numerable d'elements; el cas que tinguin només un nombre finit es redueix a aquest afegint capses buides $\emptyset$, i, com hem vist abans, $\emptyset$ té volum 0.) La successió doble $(C_{i}^{(n)})_{i,n}$ és un recobriment de $\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}$, ja que$$\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\subset \bigcup _{i,\ n}C_{i}^{(n)}.$$Llavors, $$\lambda ^{*}{\bigg (}\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}{\bigg )}\leq \sum _{i,\ n}\operatorname {Area} (C_{i}^{(n)}){\underset {(1)}{=}}\sum _{n=1}^{\infty }{\bigg (}\sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {Area} (C_{i}^{(n)}){\bigg )}\leq \sum _{n=1}^{\infty }\left(\lambda ^{*}(A_{n})+{\frac {\varepsilon }{2^{n}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\lambda ^{*}(A_{n})+\varepsilon ,$$on a la igualtat (1) hem aplicat que donat que tots els sumands de la sèrie doble són positius, es pot escriure com dues sèries iterades, que és, de fet, un teorema de Fubini per a sèries.

Com que $\varepsilon >0$ era arbitrari, s’obté la propietat que volíem.

Amb ajuda del conjunt de Vitali es demostra que aquesta mesura exterior no permet definir una mesura sobre tots els subconjunts de $\mathbb {R} ^{2}$ que sigui invariant per translacions. De fet, a la construcció de la mesura de Lebesgue ens restringim a una $\sigma$-àlgebra anomenada dels conjunts mesurable-Lebesgue (vegeu Tao ).

Vegeu també

• Conjunt de Vitali
• Teorema de Caratheodory
• Mesura de Lebesgue

Bibliografia

• Aliprantis, C.D.; Border, K.C.. Infinite Dimensional Analysis. 3rd. Berlin, Heidelberg, New York: Springer Verlag, 2006. ISBN 3-540-29586-0. 
• Carathéodory, C. Über das lineare Maß von Punktmengen – eine Verallgemeinerung des Längenbegriffs (en alemany), 1914, p. 404–426. 

• Carathéodory, Constantin. Vorlesungen über reelle Funktionen (en alemany). 3rd. Chelsea Publishing, 1968, 1a edició 1918. ISBN 978-0828400381. 
• Carathéodory, Constantin Constantin. Mass und Integral und ihre Algebraisierung (en alemany). Birkhäuser Verlag GmbH, 1956. ISBN 978-3764300661. 
• Carathéodory, Constantin. Algebraic Theory of Measure and Integration (en anglès). New York: Chelsea Publishing Company, 1963. ISBN 978-0821852736. 
• Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. Measure theory and fine properties of functions. Revised edition.. CRC Press, Boca Raton, FL, 2015, p. xiv+299. ISBN 978-1-4822-4238-6. 
• Folland, G. B.. Real analysis: modern techniques and their applications. 2a edició. Nova York: Wiley, 1999. ISBN 978-0-471-31716-6. 
• Hawkins, Thomas. Lebesgue's theory of integration: its origins and development. 2d ed.. Nova York: Chelsea Pub. Co, 1975. ISBN 978-0-8284-0282-8. 
• Federer, H. Geometric Measure Theory. 1st ed reprint. Berlin, Heidelberg, New York: Springer Verlag, 1996. ISBN 978-3540606567. 
• Halmos, P. Measure theory. 2a edició. Berlin, Heidelberg, New York: Springer Verlag, 1978. ISBN 978-0387900889. 
• Hawkins, Thomas. Lebesgue's theory of integration: its origins and development. 2d ed.. Nova York: Chelsea Pub. Co, 1975. ISBN 978-0-8284-0282-8. 
• Jordan, Camille «Remarques sur les intégrales définies». Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 8, 1892, p. 69–100. ISSN: 0021-7874.
• Lebesgue, Henri. Intégrale, longueur, aire (en francès), 1902, p. 231–359. 
• Martinez-Adame, Carmen «Carathéodory and the axiomatization and algebraization of measure theory in the first half of the XX Century». Revista Brasileira de Historia da Matematica, 15, 2015, p. 61-81. DOI: 10.47976/RBHM2015v15n3061-81.
• Munroe, M. E.. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley, 1953. ISBN 978-1124042978. 
• Kolmogorov, A. N.; Fomin, S. V.. Introductory Real Analysis. Nova York: Dover Publications, 1970. ISBN 0-486-61226-0. 
• Tao, Terence. Analysis II (en anglès). 38. 3rd. Hindustan Book Agency, 2016 (Texts and Readings in Mathematics). ISBN 978-93-80250-41-6. 

Enllaços externs

• Mesura exterior a Encyclopedia of Mathematics (anglès)
• Mesura de Caratheodory a Encyclopedia of Mathematics (anglès)