Símbol q-Pochhammer

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

En matemàtiques, en l'àrea de combinatòria, un símbol q-Pochhammer, és un q-anàleg del símbol de Pochhammer. Es defineix com

amb

per definició. El símbol -Pochhammer és un important bloc de construcció en la construcció de -anàlegs; per exemple, en la teoria de les sèries hipergeomètriques bàsiques, juga el paper que juga el símbol ordinari de Pochhammer en la teoria de les sèries hipergeomètriques generalitzades.

A diferència del símbol ordinari de Pochhammer, el símbol -Pochhammer es pot estendre a un producte infinit:

Aquesta és una funció analítica de a l'interior del disc unitat, i també es pot considerar com una sèrie de potències formals en . El cas especial

es coneix com la funció d'Euler, i és important en combinatòria, teoria de nombres i la teoria de formes modulars.

Identitats[modifica]

El producte finit es pot expressar en termes del producte infinit:

que amplia la definició als enters negatius. Per tant, per a un no-negatiu, s'obté

i

El símbol -Pochhammer és objecte d'un nombre d'una sèrie d'identitats de la -sèrie, en particular les expansions de la sèrie infinita

i

,

que són els dos casos especials del teorema del q-binomi:

Fridrikh Karpelevich va trobar la següent identitat (vegeu Olshanetsky i Rogov (1995) per a la demostració):

Interpretació combinatòria[modifica]

El símbol -Pochhammer està molt relacionat amb la combinatòria enumerativa de les particions. El coeficient de en

és la quantitat de particions de en la majoria de parts.

Atès que, per conjugació de particions, això és el mateix que el nombre de particions de en parts de mida com a màxim, mitjançant la identificació de sèries generadores obtenim la identitat:

com a la secció anterior.

També tenim que el coeficient de en

és el nombre de particions de en o parts diferents.

En treure una partició triangular amb parts d'aquesta partició, ens queda una partició arbitrària amb, com a molt, parts. Això proporciona una bijecció equilibrada entre el conjunt de particions en o parts diferents i el conjunt de parells que consisteixen en una partició triangular que té parts i una partició amb, com a màxim, parts. Identificant les sèries generadores, això condueix a la identitat:

també descrit a la secció anterior.

El recíproc de la funció de manera similar es presenta com la funció generadora de la funció de partició, , que també s'amplia per les segones dues expansions de la -sèrie que es detallen a continuació:[1]

El teorema del q-binomi també pot ser manejat per un argument combinatori lleugerament més involucrat d'un sabor similar (veure les expansions que es donen en la següent subsecció).

Convenció d'arguments múltiples[modifica]

Atès que les identitats que impliquen símbols -Pochhammer impliquen amb freqüència productes de molts símbols, la convenció estàndard és escriure un producte com un únic símbol de múltiples arguments:

q-sèries[modifica]

Una -sèrie és una sèrie en la qual els coeficients són funcions de , típicament expressions de .[2] Els primers resultats es deuen a Euler, Gauss i Cauchy. L'estudi sistemàtic comença amb Eduard Heine (1843).[3]

Relació amb altres q-funcions[modifica]

El -anàleg de , també conegut com -claudator o -nombre de , es defineix com a

A partir d'aquest es pot definir el -anàleg del factorial, el -factorial, com

Aquests nombres són anàlegs en el sentit que

i també

El valor límit n! computa les permutacions de -elements del conjunt . Igualment, compte el nombre de seqüències del conjunt de tal manera que conté exactament elements.[4] En comparació, quan és una potència primer i és un espai vectorial -dimensional sobre el camp amb elements, el -anàleg és el nombre dels ítems complets en , és a dir, és el nombre de seqüències de subespais tal que té dimensió .[4] Les consideracions precedents suggereixen que es pot considerar una seqüència de conjunts nidificats com un ítem sobre un camp conjectural amb un element (F1).

Un producte de -nombres enters negatius pot ser expressat en termes de -factorial com

A partir dels -factorials, es pot passar a definir els coeficients -binomials, també coneguts com els coeficients binomials de Gauss, com

on és fàcil veure que el triangle d'aquests coeficients és simètric en el sentit que per a tot .

Es pot comprovar això

També es pot veure des de les relacions de recurrència anteriors que les properes variants del teorema -binomial s'amplien en termes d'aquests coeficients de la següent manera:[5]

Es pot definir encara més els coeficients -multinomials

on els arguments són enters no negatius que satisfan . El coeficient anterior compta amb el nombre d'ítems de subespais en un espai vectorial -dimensional sobre el camp amb elements tals que .

El límit dóna l'habitual coeficient multinomial , que compta amb paraules en diferents símbols tal que cada apareix vegades.

També s'obté un -anàleg de la funció gamma, anomenada funció q-gamma, i definida com a

Aquesta convergeix a la funció gamma habitual quan s'apropa a 1 des de l'interior del disc unitari. S'ha de tenir en compte que

per a qualsevol i

per valors enters no-negatius de . Alternativament, això es pot considerar com una extensió de la funció -factorial al sistema de nombres reals.

References[modifica]

  1. «What is a q-series?».
  2. Bruce C. Berndt, What is a q-series?, in Ramanujan Rediscovered: Proceedings of a Conference on Elliptic Functions, Partitions, and q-Series in memory of K. Venkatachaliengar: Bangalore, 1–5 June 2009, N. D. Baruah, B. C. Berndt, S. Cooper, T. Huber, and M. J. Schlosser, eds., Ramanujan Mathematical Society, Mysore, 2010, pp. 31-51
  3. E. Heine, Untersuchungen über die Reihe, J. Reine Angew. Math. 34 (1847), 285-328
  4. 4,0 4,1 Stanley, Richard P. Enumerative Combinatorics. 1. 2. Cambridge University Press, 2011. , Section 1.10.2.
  5. Olver et. al.. NIST Handbook of Mathematical Functions, 2010, p. 421. 

Bibliografia[modifica]

Vegeu també[modifica]

Enllaços externs[modifica]