En matemàtiques, el teorema de Stolz-Cesàro és un criteri per demostrar la convergència d'una successió. El teorema porta el nom dels matemàtics Otto Stolz i Ernesto Cesàro, que ho van afirmar i demostrar per primera vegada.
El teorema de Stolz–Cesàro es pot veure com una generalització de la sumació de Cesàro, però també com una regla de L'Hôpital per a successions.
Enunciat del teorema per al cas ∙/∞
[modifica]
Siguin
i
dues successions de nombre reals. Suposem que
és una successió estrictament monòtona i divergent (és a dir, estrictament creixent i s'aproxima a
, o estrictament decreixent i s'aproxima a
) i existeix el següent límit:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l.\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79e5161eb1de2ee29c46f37dcec4b736ba3d35fe)
Aleshores, el límit
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e0db443977afee3ef0c73b7d0406c5d9bbff95e)
Aquest resultat s'empra per evitar indeterminacions del tipus
.
Enunciat del teorema per al cas 0/0
[modifica]
Siguin
i
dues successions de nombre reals. Suposem ara que
i
mentre que
és estrictament decreixent. Si
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l,\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f11ac2cec4ccefe5112c5412d09f2b03ff6f1ed)
aleshores
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e0db443977afee3ef0c73b7d0406c5d9bbff95e)
Siguin
i
dues successions tals que,
![{\displaystyle a_{n}>0,\forall n\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8aa2b5f5fdf6b312fdcb7d75214fb6a50980dc69)
és monótona creixent i divergent ![{\displaystyle (b_{n}>0,\forall n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85e4ce1ca93fa47a9594afb3eb56ca7e6eea1f70)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{b_{n+1}-b_{n}}]{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}}=\lambda ,\lambda \in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1420d37e52272cd77680726092bd953a08cad57d)
Aleshores,
Demostració del teorema per al cas ∙/∞
[modifica]
Cas 1: suposem que
estrictament creixent i divergent a
i
. Per hipòtesi, tenim que per a tot
existeix
tal que
![{\displaystyle \left|\,{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}-l\,\right|<{\frac {\epsilon }{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ea0a2c6efd951add2e031fbb72c054bb4ca73e8)
és a dir
![{\displaystyle l-\epsilon /2<{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}<l+\epsilon /2,\quad \forall n>\nu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7568e49dc800b62b75ba2cf4d30783a91a5208)
Com que
augmenta estrictament,
, i es compleix el següent
.
A continuació ens adonem que
![{\displaystyle a_{n}=[(a_{n}-a_{n-1})+\dots +(a_{\nu +2}-a_{\nu +1})]+a_{\nu +1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86839b7008fea992a4becfad4fa6c65383cf6b8e)
així, aplicant la desigualtat anterior a cadascun dels termes entre claudàtors, obtenim
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(l-\epsilon /2)(b_{n}-b_{\nu +1})+a_{\nu +1}=(l-\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n-1})+\dots +(b_{\nu +2}-b_{\nu +1})]+a_{\nu +1}<a_{n}\\&a_{n}<(l+\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n-1})+\dots +(b_{\nu +2}-b_{\nu +1})]+a_{\nu +1}=(l+\epsilon /2)(b_{n}-b_{\nu +1})+a_{\nu +1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adbcd6cccc93f546ddc22dd04895324e35a6aa72)
Ara, com que
amb
, hi ha un
tal que
per a tots els
, i podem dividir les dues desigualtats per
per a tots els
![{\displaystyle (l-\epsilon /2)+{\frac {a_{\nu +1}-b_{\nu +1}(l-\epsilon /2)}{b_{n}}}<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<(l+\epsilon /2)+{\frac {a_{\nu +1}-b_{\nu +1}(l+\epsilon /2)}{b_{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16dcdb7b962c6cf90d6273fd089f7ebcbf699f64)
Les dues successios (que només es defineixen per a
ja que podria haver-hi un
tal que
)
![{\displaystyle c_{n}^{\pm }:={\frac {a_{\nu +1}-b_{\nu +1}(l\pm \epsilon /2)}{b_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcb085de91ac3f2b87575a6f406c0ee3a20de72d)
són infinitesimals ja que
i el numerador és un nombre constant, per tant, per a tot
existeix
, de manera que
![{\displaystyle {\begin{aligned}&|c_{n}^{+}|<\epsilon /2,\quad \forall n>n_{+},\\&|c_{n}^{-}|<\epsilon /2,\quad \forall n>n_{-},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3208f849e99cd67efdaebfdab6563ebfbaaa0cea)
per tant
![{\displaystyle l-\epsilon <l-\epsilon /2+c_{n}^{-}<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<l+\epsilon /2+c_{n}^{+}<l+\epsilon ,\quad \forall n>\max \lbrace \nu ,n_{\pm }\rbrace =:N>0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/826c2e86be9b573f0869731819916da1c5d32d4b)
que conclou la prova.
El cas amb
estrictament decreixent i divergent a
, i
és similar.
Cas 2: suposem que
estrictament creixent i divergent a
i
. Seguint com abans, per a tots els
hi ha
de manera que per a tots els
![{\displaystyle {\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}>2M.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19e80c9b538b38034c99bbcda01353d08db1d373)
De nou, aplicant la desigualtat anterior a cadascun dels termes dins dels claudàtors obtenim
![{\displaystyle a_{n}>2M(b_{n}-b_{\nu +1})+a_{\nu +1},\quad \forall n>\nu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/355b51759e2fbae06003090086439276f6fd928e)
i
![{\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+{\frac {a_{\nu +1}-2Mb_{\nu +1}}{b_{n}}},\quad \forall n>\max\{\ nu,n_{0}\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9b47a1a5423110684c8be7fb162c8829c753cac)
La successió
definida per
![{\displaystyle c_{n}:={\frac {a_{\nu +1}-2Mb_{\nu +1}}{b_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b99befbb829ec0da245216d3c5468a1453852727)
és infinitesimal, per tant
![{\displaystyle \forall M>0\,\exists {\bar {n}}>n_{0}>0{\text{ tal que }}-M<c_{n}<M,\,\forall n>{\bar {n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f5d79733739d8912d373668ab8f985ae563bd52)
combinant aquesta desigualtat amb l'anterior concloem
![{\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+c_{n}>M,\quad \forall n>\max\{\nu ,{\bar {n}}\}=:N.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d56c0a1976584cf6a019123ebabbee1780291bd8)
Les demostracions dels altres casos amb
estrictament creixent o decreixent i s'acosten a
o
respectivament i
tots procedeixen de la mateixa manera.
Demostració del teorema per al cas 0/0
[modifica]
Cas 1: primer considerem el cas amb
i
estrictament decreixents. Aquesta vegada, per cada
, podem escriure
![{\displaystyle a_{n}=(a_{n}-a_{n+1})+\dots +(a_{n+\nu -1}-a_{n+\nu })+a_{n+\nu },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4105f9c13e523f14249c550a1d6bce93645f828)
i per a qualsevol
de manera que per a tots els
tenim
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(l-\epsilon /2)(b_{n}-b_{n+\nu })+a_{n+\nu }=(l-\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n+1})+\dots +(b_{n+\nu -1}-b_{n+\nu })]+a_{n+\nu }<a_{n}\\&a_{n}<(l+\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n+1})+\dots +(b_{n+\nu -1}-b_{n+\nu })]+a_{n+\nu }=(l+\epsilon /2)(b_{n}-b_{n+\nu })+a_{n+\nu }.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8371be203fe5f7452b348c993ffcb2bbd2e63c8)
Les dues successions
![{\displaystyle c_{\nu }^{\pm }:={\frac {a_{n+\nu }-b_{n+\nu }(l\pm \epsilon /2)}{b_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f5a0c46a07a2773b3db40bdaf54320473339eca)
són infinitesimals ja que per hipòtesi
amb
, per tant, per a tots els
hi ha
de tal manera que
![{\displaystyle {\begin{aligned}&|c_{\nu }^{+}|<\epsilon /2,\quad \forall \nu >\nu _{+},\\&|c_{\nu }^{-}|<\epsilon /2,\quad \forall \nu >\nu _{-},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/417dd4bf1eab1657ca2b8ed752ebcc6e056e612a)
així, escollint
adequadament (és a dir, agafant el límit respecte a
) obtenim
![{\displaystyle l-\epsilon <l-\epsilon /2+c_{\nu }^{-}<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<l+\epsilon /2+c_{\nu }^{+}<l+\epsilon ,\quad \forall n>n_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a912f06df982b3269157bc3c646a458079a1410a)
que conclou la prova.
Cas 2: suposem que
i
estan estrictament decreixents. Per a tots els
existeix
de manera que per a tots els
![{\displaystyle {\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}>2M\implies a_{n}-a_{n+1}>2M(b_{n}-b_{n+1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01a629b1f14c769acbb6d75ba62b9d0585b97433)
Per tant, per a cada
![{\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+{\frac {a_{n+\nu }-2Mb_{n+\nu }}{b_{n}}},\quad \forall n>n_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a362c8055c75ad420624b7ac9f4735897c34e8f5)
La successió
![{\displaystyle c_{\nu }:={\frac {a_{n+\nu }-2Mb_{n+\nu }}{b_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/031b3eb856f8ba280caf14478b52e7f02d48396c)
convergeix a
(mantenint
fixa). Per tant
de manera que ![{\displaystyle -M<c_{\nu }<M,\,\forall \nu >{\bar {\nu }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5935e5e9f7517d24bd89bf2b860fadac7fa0a9a5)
i, escollint
convenientment, concloem la demostració
![{\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+c_{\nu }>M,\quad \forall n>n_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d2c4836d33d06ae850b3a4b7632cb94f5ec9feb)
El teorema sobre el cas
té unes quantes conseqüències notables que són útils en el càlcul de límits.
Sigui
una successió de nombres reals que convergeix a
, definim
![{\displaystyle a_{n}:=\sum _{m=1}^{n}x_{m}=x_{1}+\dots +x_{n},\quad b_{n}:=n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535a6e1db93bd810943298b9be4f884a9a262be7)
aleshores
és estrictament creixent i divergeix a
. Calculem
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n+1}=\lim _{n\to \infty }x_{n}=l}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3096dc3510c159470e0faaa4987defae0f730d9b)
per tant
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d610bb2a23415b5dea4a98350261c3c3147b230a)
Donada qualsevol successió
de nombres reals, suposem que
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9e68667b4e113488d30c2e1e63bf0ddf238a4ce)
(finit o infinit), llavors existeix
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d610bb2a23415b5dea4a98350261c3c3147b230a)
Sigui
una successió de nombres reals positius que convergeixen a
i definim
![{\displaystyle a_{n}:=\log(x_{1}\cdots x_{n}),\quad b_{n}:=n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b26f42863836013f3994f7356b39c37185ecb12)
tornem a calcular
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }\log {\Big (}{\frac {x_{1}\cdots x_{n+1}}{x_{1}\cdots x_{n}}}{\Big )}=\lim _{n\to \infty }\log(x_{n+1})=\lim _{n\to \infty }\log(x_{n})=\log(l),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/044be14bb278dc36edd8ca80adced04174bc3ea0)
on hem utilitzat el fet que el logaritme és continu. Així
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\log(x_{1}\cdots x_{n})}{n}}=\lim _{n\to \infty }\log {\Big (}(x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n}}{\Big )}=\log(l),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ace9bb0e4c023b5d4313c3866836d234cbb663f7)
com que el logaritme és alhora continu i injectiu podem concloure que
.
Donada qualsevol successió
de nombres reals (estrictament) positius, suposem que
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9e68667b4e113488d30c2e1e63bf0ddf238a4ce)
existeix (finit o infinit), doncs
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd3af736442ea3bead54a7c8a01d3cba5ecc1670)
Suposem que se'ns dona una successió
i se'ns demana que calculem
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/892731c0f98c82ee08d00d6ecee2eff4b271efd3)
definint
i
obtenim
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\frac {y_{1}\dots y_{n}}{y_{0}\cdot y_{1}\dots y_{n-1}}}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1e9e7a1f16d5facf30a997f4e181c8a6a8ffcea)
si apliquem la propietat anterior
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {y_{n}}{y_{n-1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4f8b93c84e5640afc68b11776265bf751233c88)
Aquesta última forma sol ser la més útil per calcular límits
Donada qualsevol successió
de nombres reals (estrictament) positius, suposem que
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {y_{n+1}}{y_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a529a40779ed45e8e509308b742de50aabb8c799)
existeix (finit o infinit), doncs
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {y_{n+1}}{y_{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ebf05d5b836c44202b146522bea88b0cfc15d7)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n+1}{n}}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d9963f6c528891ed76f6d8bc38e90e3fdf69d03)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt[{n}]{n!}}{n}}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+1)!(n^{n})}{n!(n+1)^{n+1}}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{n}}{(n+1)^{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{(1+{\frac {1}{n}})^{n}}}={\frac {1}{e}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a7f17dcc792530a3e955abd73d6fe07b5fa48a0)
on hem utilitzat la representació de
com a límit d'una successió.
El cas ∞/∞ està enunciat i provat a les pàgines 173-175 del llibre de Stolz de 1885 i també a la pàgina 54 de l'article de Cesàro de 1888.
Apareix com el problema 70 a [Pólya, Szegő 1925].
La forma general del teorema de Stolz–Cesàro és la següent:[5] Si
i
són dues successions tals que
és monòton i no fitat:
![{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83de0ffba9858bc7982f2322937717848160d70b)
En lloc de demostrar l'afirmació anterior, en demostrarem una lleugerament diferent; primer introduïm una notació: sigui
qualsevol successió, la seva suma parcial es denotarà per
. L'enunciat equivalent que demostrarem és:
Siguin
dues successions qualsevol de nombres reals tals que
,
,
llavors
![{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1e6b2d5155ee3fd63e096c8f16f20c78076d905)
Prova de l'enunciat equivalent
[modifica]
Primer observem que:
sosté per definició de límit superior i límit inferior;
es manté si i només si
perquè
per a qualsevol successió
.
Per tant, només hem de demostrar que
. Si
no hi ha res a demostrar, per tant podem suposar
(pot ser finit o
). Per definició de
, per a tot
hi ha un nombre natural
de tal manera que
![{\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}<l,\quad \forall n>\nu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7de7f746b05855b12d2cead13b3699764a2e4b26)
Podem utilitzar aquesta desigualtat per escriure
![{\displaystyle A_{n}=A_{\nu }+a_{\nu +1}+\dots +a_{n}<A_{\nu }+l(B_{n}-B_{\nu }),\quad \forall n>\nu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d57af3044ebc968dcce2ef64cba01d38a407324)
Perquè
, també tenim
i podem dividir per
per aconseguir
![{\displaystyle {\frac {A_{n}}{B_{n}}}<{\frac {A_{\nu }-lB_{\nu }}{B_{n}}}+l,\quad \forall n>\nu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca9fa034d93f758fac35cec18be3d21a3dd0d1fd)
A partir que
amb
, la successió
![{\displaystyle {\frac {A_{\nu }-lB_{\nu }}{B_{n}}}\to 0{\text{ amb }}n\to +\infty {\text{ (mantenint }}\nu {\text{ fix)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f5d47c4d1018c54ae99bedeb59656ccd570cfc2)
i obtenim
![{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq l,\quad \forall l>L,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1416b52f4f8213276aec33df68ee2a4d74f1e673)
Per definició de límit superior mínim, això significa precisament això
![{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq L=\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9dce7ef993b68cc9b9fc4828291b1bd9d7a9442)
i hem acabat.
Ara, prenem
com en l'enunciat de la forma general del teorema de Stolz-Cesàro i definim
![{\displaystyle \alpha _{1}=a_{1},\alpha _{k}=a_{k}-a_{k-1},\,\forall k>1\quad \beta _{1}=b_{1},\beta _{k}=b_{k}-b_{k-1}\,\forall k>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d5e6d9e12fa3ad2ea829269a98d47b3ef65f34f)
a partir que
és estrictament monòton (podem suposar que augmenta estrictament, per exemple),
per a tot
i a partir que
també
, així podem aplicar el teorema que acabem de demostrar
(i les seves sumes parcials
)
![{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\mathrm {A} _{n}}{\mathrm {B} _{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd1a8ff989ab8c6a9a022014d3af606ea29ca919)
que és exactament el que volíem demostrar.
- Cesàro, Ernesto. Sur la convergence des séries (en francès). 7. Nouvelles Annales de Mathématiques, 1888, p. 49-59 (Series 3).
- Choudary, A. D. R; Niculescu, Constantin. Real Analysis on Intervals (en anglès). Springer, 2014, p. 59-62. ISBN 978-81-322-2147-0.
- Marshall Ash, J; Berele, Allan; Catoiu, Stefan «Plausible and Genuine Extensions of L’Hospital's Rule» (en anglès). Mathematics Magazine, 85(1), febrer 2012, pàg. 52-60. JSTOR: 10.4169/math.mag.85.1.52.
- Mureşan, Marian. A Concrete Approach to Classical Analysis (en anglès). Berlín: Springer, 2008, p. 85-88. ISBN 978-0-387-78932-3.
- Pólya, George; Szegő, Gábor. Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis (en alemany). I. Berlín: Springer, 1925.
- Stolz, Otto. Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den Neueren Ansichten (en alemany). Leipzig: Teubners, 1885, p. 173-175.