Teorema de la integral de Cauchy

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

El teorema de la integral de Cauchy, descobert per Augustin Louis Cauchy el 1825, és part fonamental del càlcul integral de variable complexa.

Enunciat[modifica | modifica el codi]

Si f(z) és analítica en un domini simplement connex D i la seva derivada és contínua en D llavors per qualsevol contorn tancat simple contingut en D es té:

\oint_C f(z)dz=0\,

Extensió[modifica | modifica el codi]

Posteriorment, Edouard Goursat va demostrar que no era necessari considerar la hipòtesi de que la derivada de f fos contínua per assegurar que el valor de la integral sigui zero. D'aquesta manera:

  • El teorema segueix essent vàlid quan el contorn C no és simple però es talla un nombre finit de vegades.
  • Sigui C un contorn simple tancat, i siguin Cj (j=1, 2, ..., n) un nombre finit de contorns simples tancats dins de C, tals que les regions interiors a cada Cj no tinguin punts en comú. Sigui R la regio tancada formada per tots els punts dins de C, llevat dels punts interiors a cada Cj. Denotem per F tota la frontera orientada de R formada per C i tots els contorns Cj, recorreguts en un sentit tal que els punts interiors de R quedin a l'esquerra de F. Llavors, si f és analítica en tot R,

\oint_F f(z)dz=0 \,

Arran d'aquest treball, actualment el teorema és conegut com el teorema de la integral de Cauchy-Goursat.

Conseqüències[modifica | modifica el codi]

A partir del teorema de Cauchy-Goursat, es poden demostrar proposicions com la següent:

Sigui ƒ(z) analítica sobre C, essent C un contorn tancat simple i a l'interior de C. Si s'agafa un punt interior "z_0" de C, es compleix que:

 \oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz=2\pi i f(z_0)

que correspon a la fórmula de la integral de Cauchy.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]