Teorema de la integral de Cauchy

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

El teorema de la integral de Cauchy, descobert per Augustin Louis Cauchy el 1825, és part fonamental del càlcul integral de variable complexa.

Enunciat[modifica]

Si és analítica en un domini simplement connex i la seva derivada és contínua en , llavors per qualsevol contorn tancat simple contingut en es té:

Extensió[modifica]

Posteriorment, Édouard Goursat va demostrar que no era necessari considerar la hipòtesi que la derivada de fos contínua per assegurar que el valor de la integral sigui zero. D'aquesta manera:

  • El teorema segueix essent vàlid quan el contorn no és simple però es talla un nombre finit de vegades.
  • Sigui un contorn simple tancat, i siguin (j=1, 2, ..., n) un nombre finit de contorns simples tancats dins de , tals que les regions interiors a cada no tinguin punts en comú. Sigui la regió tancada formada per tots els punts dins de , llevat dels punts interiors a cada . Denotem per tota la frontera orientada de formada per i tots els contorns , recorreguts en un sentit tal que els punts interiors de quedin a l'esquerra de . Llavors, si és analítica en tot , tenim que:

Arran d'aquest treball, actualment el teorema és conegut com el teorema de la integral de Cauchy-Goursat.

Conseqüències[modifica]

A partir del teorema de Cauchy-Goursat, es poden demostrar proposicions com la següent:

Sigui analítica sobre , essent un contorn tancat simple i a l'interior de . Si s'agafa un punt interior "" de , es compleix que:

que correspon a la fórmula de la integral de Cauchy.

Vegeu també[modifica]

Enllaçós externs[modifica]