Teorema de la integral de Cauchy

De Viquipèdia

El teorema de la integral de Cauchy, descobert per Augustin Louis Cauchy el 1825, és part fonamental del càlcul integral de variable complexa.

Enunciat[modifica]

Si és analítica en un domini simplement connex i la seva derivada és contínua en , llavors per qualsevol contorn tancat simple contingut en es té:

Extensió[modifica]

Posteriorment, Édouard Goursat va demostrar que no era necessari considerar la hipòtesi que la derivada de fos contínua per assegurar que el valor de la integral sigui zero. D'aquesta manera:

  • El teorema segueix essent vàlid quan el contorn no és simple però es talla un nombre finit de vegades.
  • Sigui un contorn simple tancat, i siguin (j=1, 2, ..., n) un nombre finit de contorns simples tancats dins de , tals que les regions interiors a cada no tinguin punts en comú. Sigui la regió tancada formada per tots els punts dins de , llevat dels punts interiors a cada . Denotem per tota la frontera orientada de formada per i tots els contorns , recorreguts en un sentit tal que els punts interiors de quedin a l'esquerra de . Llavors, si és analítica en tot , tenim que:

Arran d'aquest treball, actualment el teorema és conegut com el teorema de la integral de Cauchy-Goursat.

Conseqüències[modifica]

A partir del teorema de Cauchy-Goursat, es poden demostrar proposicions com la següent:

Sigui analítica sobre , essent un contorn tancat simple i a l'interior de . Si s'agafa un punt interior "" de , es compleix que:

que correspon a la fórmula de la integral de Cauchy.

Vegeu també[modifica]

Enllaçós externs[modifica]