Vector aleatori

De Viquipèdia

En Probabilitat i Estadística, molt sovint al resultat que s'obté en un experiment aleatori o un estudi estadístic se li associem diversos nombres; per exemple, triem una persona a l'atzar i en mesurem el pes i l'alçada: tenim així dues mesures, i , que considerades conjuntament constitueixen un vector aleatori. Formalment, un vector aleatori -dimensional és un vector tal que cada component , és una variable aleatòria.

Definició[modifica]

Nota. A la secció Exemples al final de l'article hi ha desenvolupats dos exemples amb vectors aleatoris bidimensionals que poden ser útils a les persones que prefereixin començar analitzant casos concrets.


Considerem un espai de probabilitat . Un vector aleatori -dimensional [1] és una aplicació tal que cada component és una variable aleatòria. També s'anomena variable aleatòria -dimensional.

Comentaris sobre les notacions.

  1. Hem escrit el vector en fila,[1] però en Estadística multivariant és molt freqüent escriure els vectors en columna,[2] ja que es fan moltes operacions amb matrius i és més convenient seguir les normes estàndard de l'àlgebra lineal. En aquest article escriurem els vectors en fila, excepte a les seccions dedicades a l'esperança d'un vector aleatori i a la matriu de variàncies-covariàncies, i als exemples que tractem de lleis normals multidimensionals.
  2. Per alleugerir les fórmules, s'utilitzen 'comes' com a interseccions; així, donats uns conjunts de ,
    O bé, en el cas discret que veurem a continuació, per s'escriu

Vectors aleatoris discrets[modifica]

Un vector aleatori es diu que es discret si només pot prendre un nombre finit o numerable de valors; en altres paraules, si existeix un conjunt finit o infinit numerable tal que .

S'anomena funció de probabilitat (a vegades s'afegeix conjunta) del vector o funció de repartiment de massa a la funció

Les distribucions de probabilitat de cadascuna de les components dels vector, , o dels vectors , , , s'anomenen distribucions marginals.

A partir de la funció de probabilitat del vector podem calcular totes les distribucions marginals sumant respecte les altres components: per exemple, per simplificar la notació, la funció de probabilitat de , on , és

Exemple: Distribució multinomial[modifica]

Article principal: Distribució multinomial

Considerem un experiment que pot tenir resultats diferents, que designarem per , amb probabilitats , . Fem repeticions independents i denotem per el nombre de vegades que obtenim el resultat , per el nombre de vegades que obtenim el resultat , i així successivament. Aleshores la probabilitat d'obtenir vegades el resultat , vegades el resultat , etc. amb és

Es diu que el vector segueix una distribució multinomial [3] de paràmetres , i s'escriu . Cal notar que cada component té una distribució binomial de paràmetres i , . De fet, una distribució multinomial és una extensió de la distribució binomial quan hi ha més de dos resultats possibles.

Per exemple, tenim una urna amb 4 boles blanques, 3 vermelles i 3 grogues. Traiem boles amb reemplaçament, és a dir, traiem una bola, anotem el color, la retornem a l'urna, en traiem una altra, etc. Designem per:

: nombre de boles blanques que traiem.
: nombre de boles vermelles que traiem.
: el nombre de boles grogues que traiem.

Aquí, , i . Llavors, la probabilitat de treure 1 bola blanca, 1 vermella i 2 grogues és

A partir d'aquí, podem calcular, per exemple, la distribució marginal del vector aleatori o la de la variable aleatòria

Vectors aleatoris absolutament continus o amb funció de densitat[modifica]

Es diu que un vector aleatori és absolutament continu, o senzillament continu, si existeix una funció , anomenada funció de densitat (conjunta), que compleix

1.
2.
3. Per a qualsevol (en rigor ha de ser un conjunt de Borel de ), tenim
En particular, si , tenim

A partir de la funció de densitat conjunta pot calcular-se la funció de densitat de qualsevol vector , , , que s'anomena la densitat marginal; per exemple, la densitat marginal de , amb és


Exemple: distribució normal multidimensional[modifica]

Un vector aleatori -dimensional amb funció de densitat

es diu que té una llei normal multidimensional o multivariada, on és la matriu identitat. Cada component del vector té una distribució normal estàndard .

Vegeu els vectors aleatoris normals multidimensionals generals als exemples de la secció Funcions d'un vector aleatori amb densitat.

Funcions de distribució multidimensional[modifica]

Article principal: Funció de distribució

La funció de distribució d'un vector aleatori [1] és la funció definida per

Si el vector aleatori té funció de densitat , aleshores la funció de distribució del vector és

Si la funció de densitat és contínua en el punt , aleshores [4]

Variables aleatòries independents[modifica]

Recordem que es diu que les variables aleatòries són independents si per a qualsevol conjunts (en rigor, conjunts de Borel de ),


Designem per la funció de distribució del vector , i per les funcions de distribució de les variables aleatòries (marginals). Aleshores són independents si i només si


En el cas discret la independència equival a que la funció de probabilitat conjunta sigui igual al producte de marginals: són independents si i només si


En el cas absolutament continu, la propietat d'independència equival a que la densitat conjunta sigui igual al producte de marginals: són independents si i només si

Per exemple, en el cas de la distribució normal multidimensional que hem comentat, les distribucions marginals de les diferents components són lleis normals estàndard: tenim que per a ,

Llavors és clar que es compleix la condició anterior i, per tant, les variables són independents.

Vectors aleatoris independents[modifica]

Considerem vectors aleatoris, que poden ser de dimensions diferents: . Es diu que són independents si per qualsevol , on és la -àlgebra de Borel sobre ,

Les caracteritzacions de la independència de variables aleatòries en els casos discret i continus es trasllada al cas de vectors aleatoris.

Esperança d'una funció d'un vector aleatori[modifica]

Sigui un vector aleatori i una funció (mesurable), tenim que és una variable aleatòria de la qual podrem calcular l'esperança quan . Si és discret, aleshores

sempre que
Si és absolutament continu, aleshores
sempre que
Naturalment, si tenim una funció que només fa intervenir una part de , posem , amb , , , aleshores l'esperança de es calcula utilitzant la distribució marginal d'aquest vector.

Moments d'un vector aleatori[modifica]

Considerem un vector aleatori i siguin . Es diu que moment d'ordre si , i, en aquest cas, es defineix el moment d'ordre (alguns autors diuen moment mixt)[5] per

D'acord amb les fórmules que hem vist abans, si el vector és discret, aleshores
Si el vector aleatori és absolutament continu,
Tenim la següent propietat: Si , aleshores per a , tenim que té moment d'ordre .[6]

Vegeu els moments factorials en la secció de la funció generatriu de probabilitats.

Esperança d'un vector aleatori[modifica]

Totes les propietats d'aquesta secció i la següent es troben demostrades a Seber.[7] Atès que farem operacions matricials, en aquesta secció i la següent escriurem tots els vectors en columna; en particular, escriurem en columna els elements de . Donada una matriu (o vector) designarem per la seva transposada . Considerem un vector aleatori tal que totes les seves components tinguin esperança. Aleshores es defineix l'esperança de per


Propietats

  1. Si , aleshores
  2. Siguin i dos vectors aleatoris -dimensionals amb esperances finites, i i dues matrius d'ordre . Aleshores

Matriu de variàncies-covariàncies[modifica]

Continuem escrivint tots els vectors en columna. Si totes les components del vector tenen variància, aleshores es defineix la seva matriu de variàncies-covariàncies o matriu de dispersió:

Atès que , aquesta matriu també s'escriu

Propietats[modifica]

1. Donat que , la matriu es simètrica.
2. La matriu és semidefinida positiva, ja que per qualsevol ,

A més, el determinant de la matriu és 0 si i només si hi ha una relació lineal entre les variables , això és, existeixen escalars , no tots nuls, tals que

3. Si és un vector -dimensional, una matriu i , aleshores

Exemples

1. Sigui . Aleshores, donat que cada component té una distribució binomial ,

També tenim que Per calcular les covariàncies cal utilitzar la marginal de i s'obté que
(vegeu els exemples de la secció Funció característica). Així,

2. En el cas del vector normal multidimensional . D'altra banda, i, atès que les variables són independents, . Llavors

Ampliació: Matriu de covariàncies entre dos vectors[modifica]

En el que segueix és convenient introduir les matrius aleatòries que són matrius tals que les seves components són variables aleatòries. Sigui una d'aquestes matrius, de dimensions :

S'anomena esperança de la matriu aleatòria a la matriu
Sigui un vector aleatori -dimensional i un vector aleatori -dimensional ambdós amb moments de segon ordre. S'anomena matriu de covariàncies de i a la matriu de dimensions
Propietats.

  1. Si aleshores la matriu de covariàncies coincideix amb la matriu de variàncies-covariàncies:
  2. Si i , aleshores
  3. En particular,
  4. Siguin i dos vectors aleatoris de dimensions i respectivament i i matrius de dimensions i respectivament, aleshores

Funció característica i altres transformades[modifica]

Funció característica[modifica]

La funció característica d'un vector aleatori és la funció definida per

Les funcions característiques de les distribucions marginals es dedueixen fàcilment de la funció característica conjunta; per exemple, per simplificar les notacions, per a ,

Propietats.[8]

Unicitat. La funció característica determina la distribució del vector ; concretament, si i són dos vectors aleatoris, amb funcions característiques i respectivament, tals que

aleshores i tenen la mateixa distribució (tenen la mateixa funció de distribució, o si són discrets tenen la mateixa funció de probabilitat, o si són absolutament continus tenen la mateix funció de densitat). La propietat recíproca evidentment també és certa.

Funció característica i independència. Els vectors aleatoris -dimensionals són independents si i només si

Funció característica i suma de vectors aleatoris independents. Siguin vectors aleatoris -dimensionals independents i posem
Aleshores

Funció característica i moments. La següent propietat és especialment útil per a calcular els moments d'un vector aleatori: Si el vector aleatori compleix , on , aleshores la funció característica és de classe i per a , ,

Recíprocament, si la funció característica és de classe per a parell , aleshores el vector té moments d'ordre per qualsevol , Exemple. Vector multinomial. Retornem al vector multinomial . La seva funció característica és
El vector té moments de tots els ordres perquè les seves components són variables aleatòries positives i afitades per . Podem calcular de la següent manera:
d'on
Exemple: Vector normal multidimensional. El vector té funció característica

Funció generatriu de moments[modifica]

Sigui un vector aleatori. La funció

definida en aquells punts on l'esperança de la dreta és finita, s'anomena funció generatriu de moments [9] de . Atès que per qualsevol nombre real , , sempre es pot calcular l'esperança de , però pot donar infinit. Evidentment, sempre està definida en i . Quan està definida (o existeix) en un entorn de , aleshores té molt bones propietats i pot substituir la funció característica, amb l'avantatge que és una funció real i , per tant, més fàcil d'utilitzar; d'altra banda, en aquest cas, es pot estendre el domini de definició a un subconjunt de .[10]

Afortunadament, molts vectors aleatoris que apareixen habitualment en l'Anàlisi de la variància i en l'Anàlisi estadística multivariant tenen funció generatriu de moments,[11] però no tots, tal com després veurem.

Alguns autors [10] anomenen transformada de Laplace la funció generatriu de moments; si el vector aleatori només pren valors positius i té funció de densitat , aleshores

que, a part del signe de , és la transformada de Laplace (multidimensional) de la funció .[12]

Les tres propietats següents són especialment útils:

Unicitat.[11] Si la funció generatriu de moments d'un vector aleatori està definida en un entorn de , aleshores determina unívocament la distribució d'aquest vector.

Independència.[11] Siguin i dos vectors aleatoris tal que el vector té funció generatriu de moments definida en un entorn de zero. Aleshores són independents si i només si

Moments.[9] Si un vector aleatori té funció generatriu de moments en un entorn de , aleshores té moments de tots els ordres i

Exemples

  1. Vector multinomial . La funció generatriu és
  2. Vector normal multidimensional .
  3. Vectors aleatoris sense funció generatriu de moments. Segons hem comentat, un vector aleatori amb funció generatriu de moments en un entorn de té moments de tots els ordres. Per tant, qualsevol vector que contingui alguna component que no tingui moments de qualsevol ordre no tindrà funció generatriu de moments. Per exemple, una distribució -multidimensional.[13]

Funció generatriu de probabilitats[modifica]

Sigui un vector aleatori que només prengui valors naturals (zero inclòs), amb funció de probabilitats . S'anomena funció generatriu de probabilitats [5] a la funció

(Amb el conveni ). La sèrie de la dreta és una sèrie de potències multidimensional, que és absolutament convergent per a , ja que
. A vegades la regió de convergència és més gran que . Alguns autors defineixen aquesta funció per al camp complex, ja que la sèrie és absolutament convergent per a , amb i potser en conjunts més grans de .

La funció generatriu de probabilitats està relacionada amb la funció generatriu de moments per la fórmula:

Aquesta funció s'utilitza molt en situacions on intervenen vectors aleatoris que només prenen valors naturals, com els processos de ramificació.[14]

Propietats.[14]

1. La funció és contínua i infinitament diferenciable en .
2. Fórmula d'inversió i unicitat. La funció de probabilitat del vector es pot recuperar a partir de la funció generatriu de probabilitat:

En conseqüència, la funció generatriu de probabilitats determina la distribució del vector .

3. Moments factorials. Per a i , designem per el factorial decreixent:[15]

Noteu que si i , llavors . S'anomena moment factorial [16] d'ordre del vector a

Aleshores , aquesta esperança és finita si i només si [14]
i en aquest cas,

4. Suma de vectors aleatoris independents. Siguin i dos vectors aleatoris que només prenen valors naturals. Aleshores

Exemple. Vector multinomial . La funció generatriu de probabilitat és

Funcions d'un vector aleatori amb densitat[modifica]

Les transformacions d'un vector aleatori són especialment importants tant en la teoria com en les aplicacions, i és molt convenient disposar d'eines per determinar la distribució del vector transformat a partir de l'inicial . Si és un vector aleatori -dimensional amb funció de densitat i és una bona funció, aleshores també té funció de densitat i hi ha fórmules per calcular-la. De fet, si el vector està concentrat en un subconjunt , és a dir, si , aleshores la funció només ha d'estar definida en aquest conjunt.

Propietat.[17] Sigui un vector aleatori amb funció de densitat conjunta . Suposem que on és un conjunt obert de . Sigui on és un obert de , bijectiva de classe , amb determinant jacobià no nul sobre :

Designem la inversa de per . Aleshores el vector aleatori és absolutament continu amb densitat

Exemple. Vector aleatori normal multidimensional. En aquest exemple escriurem tots els vectors en columna. Sigui un vector aleatori normal multidimensional com el que hem introduït anteriorment. Considerem una matriu definida positiva i un vector . Existeix [18] una única matriu definida positiva [19] tal que . Definim el vector per

Així, l'aplicació que estem considerant és donada per
Noteu que .

L'aplicació inversa és

on és la matriu inversa de . La matriu jacobiana de és , que té determinant diferent de zero a tot . La densitat de és
Llavors, la densitat de és

Es diu que té una llei normal multidimensional . D'acord amb les propietats que hem vist sobre el vector d'esperances i la matriu de variàncies-covariàncies tenim que

i

Extensió. La propietat anterior es pot estendre al cas que la funció es pugui descompondre en una funció bijectiva a trossos. Concretament tenim:[20] Sigui un vector aleatori -dimensional, amb funció de densitat conjunta . Suposem que amb , on són oberts de disjunts dos a dos. Sigui tal que les restriccions són bijectives de classe amb determinant jacobià no nul (els conjunts no cal que siguin disjunts dos a dos i, de fet, poden ser iguals). Designem per la inversa de . Aleshores el vector aleatori és absolutament continu amb densitat

on, és la funció indicador del conjunt :

Distribucions condicionades[modifica]

Cas discret[modifica]

Sigui un vector aleatori discret amb funció de probabilitat . Considerem una de les components del vector, per exemple, per simplificar les notacions, l'última, , amb funció de probabilitat marginal , i fixem tal que . S'anomena distribució de condicionada per a la probabilitat donada per la funció de probabilitat

Més generalment, per a podem considerar el vector (per simplificar les notacions); fixat tal que , definim la distribució de condicionada per a la probabilitat donada per la funció de probabilitat
Exemple. Considerem un vector multinomial . Aleshores, fixat , la distribució de condicionada per és
Per tant, condicionat a té una distribució multinomial .

En general ,[21] fixats tals que , el vector condicionat per té una distribució multinomial , on

Cas absolutament continu[modifica]

Sigui un vector aleatori amb funció de densitat conjunta . Per a fixats tals que , definim la densitat condicionada de condicionada per

Exemple. Vector normal multidimensional. . Sigui un vector normal multidimensional (de nou aquí escriurem tots els vectors en columna), i . Escrivim

D'altra banda, partim la matriu de la següent manera:
on . Noteu que . Aleshores,[22] la distribució condicionada per (escrivim ) és normal mutidimensional on
En particular, per a , si posem
tenim que condicionada per té una distribució normal on

Exemples[modifica]

Aquests exemples tracten de vectors aleatoris bidimensionals, que habitualment és denoten per en lloc de .

Exemple 1. Vector aleatori bidimensional discret[modifica]

Tirem una moneda tres cops. El model probabilístic que prendrem és , que té 8 elements; és la col·lecció de tots els subconjunts de , i assigna a tots els resultats la mateixa probabilitat 1/8. Siguin

: nombre de cares que surt.
: diferència, en valor absolut, entre el nombre de cares i de creus.

Aleshores pot prendre els valors 0, 1, 2 o 3, i pot valer 1 o 3. Llavors, el vector pot prendre els valors (0,1), (0,3), (2,1), (2,3), (3,1) o (3,3). El conjunt

s'anomena el suport de la distribució del vector. Notem que Calculem les probabilitats que prengui cadascun dels valors del suport. Recordem que per alleugerir les fórmules s'utilitzen 'comes' en lloc d'interseccions):

.
(noteu que l'ordre en què surten els resultats s'ha de tenir en compte).

I així successivament. De fet, els punts (0,1), (1,3), (2,3) i (3,1) es poden treure del suport, ja que tenen probabilitat zero, i per a certes fórmules és convenient fer-ho per evitar expressions sense sentit. La funció

s'anomena funció de probabilitat conjunta o funció de repartiment de massa del vector . Quan hi ha un nombre petit de casos, com en aquest exemple, la funció de probabilitat s'acostuma a posar en una taula, anomenada taula de probabilitats conjuntes del vector i que determina la llei o distribució del vector.

Distribucions marginals

A partir d'aquesta taula, sumant per files o columnes, es dedueixen les funcions de probabilitat de les variables i , que denotem per i i que s'anomenen distribucions marginals de i de respectivament, o taules de probabilitats marginals:

Independència de variables aleatòries Recordem que dues variables aleatòries i es diu que són independents si per a qualsevol (en rigor, conjunts de Borel ) , els esdeveniments i són independents, això és,
Quan ambdues variables són discretes, aquesta condició es redueix a una sobre la funció de probabilitat conjunta: Les variables i són independents si i només si
A l'exemple és evident que aquesta propietat no es compleix: per exemple,

Distribucions condicionades

Atès que l'esdeveniment (obtenir exactament una cara) té probabilitat estrictament positiva, podem calcular les probabilitat condicionada:

Anàlogament,

Per tant, fixat , tenim definida una probabilitat sobre el conjunt , de fet, només cal considerar el conjunt , que s'anomena la distribució de condicionada per , per a la qual es dóna la funció de probabilitat condicionada
i que es pot representar per la taula
Anàlogament, tenim la distribució de condicionada per donada a la següent taula:
Esperança d'un vector. Es defineix l'esperança del vector com el vector . Concretament, atès que
tenim que .

Matriu de variàncies-covariàncies d'un vector. La matriu

s'anomena matriu de variàncies-covariàncies o matriu de dispersió del vector . Tenim que
De la mateixa manera es calcula que . Per calcular la covariància farem servir que
Ara, per obtenir , necessitem utilitzar la funció de probabilitat conjunta de :
d'on, . Així, la matriu de variàncies-covariàncies és

Exemple 2. Vector aleatori bidimensional continu[modifica]

De manera anàloga al cas d'una variable aleatòria absolutament contínua, es diu que un vector és absolutament continu si existeix una funció , anomenada funció de densitat (conjunta), que compleix

1.
2.
3. Per qualsevol (en rigor, conjunt de Borel de ,

Figura 1. Triangle

Com exemple, sigui un vector aleatori bidimensional amb distribució uniforme en el triangle de vèrtexs els punts (0,0), (1,0) i (1,1) (vegeu la Figura 1). La funció de densitat conjunta és

La funció de densitat (marginal) de es calcula per la fórmula:

Ara cal distingir dos casos:

1. Fixada , aleshores . És evident que

2. Fixada ,

Llavors

Figura 2. Densitat marginal de la variable Y

Ajuntant ambdós casos tenim, vegeu la Figura 2,

Figura 3. Densitat marginal variable X

De manera anàloga s'obté que la densitat marginal de és, vegeu la Figura 3,

Ara podem calcular la densitat condicionada , que només es calculara per a

Funció de densitat condicionada
Figura 3. Funció de densitat condicionada

Vegeu la Figura 4. Noteu que els papers de i de són completament diferents. Fixada la tenim una funció de densitat en . De fet, en aquest cas, es tracta de la densitat d'una distribució uniforme en l'interval

Per obtenir l'esperança del vector s'ha de calcular l'esperança de cada component utilitzant les fórmules corresponents al cas absolutament contínu:

També, . Així, .

El moment de segon ordre de és:

D'on

I el mateix dóna .

Finalment, per calcular la covariància,

Aleshores,
Per tant, la matriu de variàncies covariàncies dóna

Notes[modifica]

  1. 1,0 1,1 1,2 Sanz, Marta. Probabilitats. Barcelona: Edicions Universitat de Barcelona, 1999, p. 66-68. ISBN 84-8338-091-9. 
  2. Anderson, T. W.. An introduction to multivariate statistical analysis. 3rd ed. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience, 2003. ISBN 0-471-36091-0. 
  3. Forbes, C.; Evans, M.; Hastings, N.; Peacock, B. Statistical distributions.. 4th ed.. Oxford: Wiley-Blackwell, 2010, pp.135-136. ISBN 978-0-470-62724-2. 
  4. Sanz, Marta. Probabilitats. Barcelona: Edicions Universitat de Barcelona, 1999, p. 90. ISBN 84-8338-091-9. 
  5. 5,0 5,1 Johnson, Norman Lloyd. Discrete multivariate distributions. Nova York: Wiley, 1997, p. 2-3. ISBN 0-471-12844-9. 
  6. Cuppens, Roger. Decomposition of multivariate probabilities. Nova York: Academic Press, 1975, p. 52. ISBN 0-12-199450-3. 
  7. Seber, G. A. F.. Linear regression analysis. 2nd ed. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience, 2003, p. 5-8. ISBN 0-471-41540-5. 
  8. Sato, Ken-iti. Lévy processes and infinitely divisible distributions. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press, 1999, p. 9. ISBN 0-521-55302-4. 
  9. 9,0 9,1 Athreya, Krishna B. Measure theory and probability theory. Nova York: Springer, 2006, p. 198-199. ISBN 0-387-32903-X. 
  10. 10,0 10,1 Hoffmann-Jørgensen, J. Probability with a view toward statistics. New York, NY: Chapman & Hall, 1994. ISBN 0-412-05221-0. 
  11. 11,0 11,1 11,2 Seber, G. A. F.. Linear regression analysis. 2nd ed. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience, 2003, p. 13-14. ISBN 0-471-41540-5. 
  12. Debnath, Joyati; Dahiya, R.S. «Theorems on multidimensional laplace transform for solution of boundary value problems» (en anglès). Computers & Mathematics with Applications, 18, 12, 1989, pàg. 1033–1056. DOI: 10.1016/0898-1221(89)90031-X.
  13. Anderson, T. W.. An introduction to multivariate statistical analysis. 3rd ed. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience, 2003, p. 55. ISBN 0-471-36091-0. 
  14. 14,0 14,1 14,2 Kimmel, Marek. Branching processes in biology. Nova York: Springer, 2002, p. Appendix A. ISBN 0-387-95340-X. 
  15. NIST handbook of mathematical functions. Cambridge: Cambridge University Press, 2010, p. Item 26.1.1. ISBN 978-0-521-19225-5. 
  16. Johnson, Norman Lloyd. Discrete multivariate distributions. Nova York: Wiley, 1997, p. 4. ISBN 0-471-12844-9. 
  17. Sanz, Marta. Probabilitats. Barcelona: Edicions Universitat de Barcelona, 1999, p. 73. ISBN 84-8338-091-9. 
  18. Seber, G. A. F.. A matrix handbook for statisticians. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience, 2008, p. 225, propietat 10.32. ISBN 978-0-470-22678-0. 
  19. Per definició, les matrius definides positives són simètriques
  20. Per un resultat semblant vegeuCasella, George. Statistical inference. 2nd ed. Australia: Thomson Learning, 2002, p. 185. ISBN 0-534-24312-6. 
  21. Johnson, Norman Lloyd. Discrete multivariate distributions. Nova York: Wiley, 1997, p. 35. ISBN 0-471-12844-9. 
  22. Seber, G. A. F.. A matrix handbook for statisticians. Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience, 2008, p. 439. ISBN 978-0-470-22678-0.