Nombre de Fibonacci

Una tessel·lació de quadrats amb longitud de costat igual als nombres de la successió de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 and 21.

En matemàtiques, els nombres de Fibonacci, sovint denotats F_n, formen una sèrie, anomenada successió de Fibonacci, tal que cada nombre de la sèrie és la suma dels dos nombres anteriors, prenent com a valors inicials de la sèrie 0 i 1. És a dir, $$F_{0}=0,\quad F_{1}=1,$$ i $$F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$$ per n > 1.

La seqüència comença: $$0,\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;13,\;21,\;34,\;55,\;89,\;144,\;\ldots$$

Si se segueixen definicions més antigues, el valor $F_{0}=0$ és omès. Així doncs, la seqüència comença amb $F_{1}=F_{2}=1,$ i la relació de recurrència $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$ és vàlida per n > 2. In his original definition, Fibonacci started the sequence with $F_{1}=1,F_{2}=2$

L'espiral de Fibonacci: una aproximació de l'espiral àuria creada en dibuixar arcs circulars que connecten els vèrtexs oposats de quadrats que segueixen la tessel·lació de Fibonacci; (vegi's la imatge superior)

Els nombres de Fibonacci estan estretament relacionats amb la secció àuria: la fórmula de Binet expressa l'nèssim nombre de Fibonacci en termes de n i la secció àuria, i implica que la raó de dos nombres consecutius de Fibonacci tendeix a la secció àuria a mesura que n augmenta.

Els nombres de Fibonacci duen el nom del matemàtic italià Leonardo of Pisa, posteriorment conegut com Fibonacci. En el seu llibre de 1202 Liber Abaci, Fibonacci va introduir la sèrie a les matemàtiques europees occidentals, tot i que la seqüència ja havia estat descrita prèviament a l'Índia, al voltant de l'any 200 abans de Crist en una obra de Pingala quan enumerava possibles patrons en la poesia en sànscrit formats per síl·labes de dues longituds diferents.

Els nombres de Fibonacci apareixen de forma inesperada en les matemàtiques, fins a tal punt que hi ha un revista sencera dedicada al seu estudi, la Fibonacci Quarterly. Les aplicacions dels nombres de Fibonacci inclouen algorismes computacionals com la tècnica de cerca de Fibonacci i l'estructura de dades del monticle de Fibonacci, i grafs anomenats cubs de Fibonacci, que serveixen per interconnectar sistemes paral·lels i distribuïts.

També apareixen en patrons de la natura, com ara en el brancatge dels arbres, la distribució de les fulles del tronc, els brots de fruits en les pinyes, la floració de les carxoferes, l'obertura de les falgueres, i la distribució de les bràctees de les pinyes.

Els nombres de Fibonacci també estan molt relacionats amb els nombres de Lucas $L_{n}$, en el sentit que els nombres de Fibonacci i els de Lucas formen una parella completa de sèries de Lucas: $U_{n}(1,-1)=F_{n}$ and $V_{n}(1,-1)=L_{n}$.

Referències

Obra citada

• Ball, Keith M (2003), "8: Fibonacci's Rabbits Revisited", Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11321-0.
• Beck, Matthias & Geoghegan, Ross (2010), The Art of Proof: Basic Training for Deeper Mathematics, New York: Springer, ISBN 978-1-4419-7022-0.
• Bóna, Miklós (2011), A Walk Through Combinatorics (3rd ed.), New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-4335-23-2.
  • Bóna, Miklós (2016), A Walk Through Combinatorics (4th Revised ed.), New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-3148-84-0.
• Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein, Springer Monographs in Mathematics, New York: Springer, ISBN 978-3-540-66957-9.
• Livio, Mario. The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number. First trade paperback. New York City: Broadway Books, 2003. ISBN 0-7679-0816-3. 
• Lucas, Édouard (1891), Théorie des nombres, vol. 1, Paris: Gauthier-Villars, Théorie des nombres a Google Books, <https://archive.org/details/thoriedesnombr01lucauoft>.
• Pisano, Leonardo (2002), Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of the Book of Calculation, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Springer, ISBN 978-0-387-95419-6