Domini d'ideals principals

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En àlgebra abstracta, un domini d'ideals principals, o DIP, és un domini d'integritat en el qual tot ideal és principal, és a dir, es pot generar a partir d'un sol element. Més generalment, un anell d'ideals principals és un anell commutatiu no-nul els ideals del qual són principals, encara que alguns autors (per exemple Bourbaki) anomenen DIP els anells principals. La diferència rau en què un anell d'ideals principals pot tenir divisors de zero, mentre que un domini d'ideals principals no en té.

Així doncs, els dominis d'ideals principals són objectes matemàtics que es comporten d'alguna manera com els enters respecte a la divisibilitat: qualsevol element d'un DIP té una factorització única en elements primers (amb la qual cosa, existeix un anàleg del teorema fonamental de l'aritmètica). Dos elements qualssevol d'un DIP tenen un màxim comú divisor (encara que no sempre és possible trobar-lo mitjançant l'algorisme d'Euclides). Si x i y són elements d'un DIP sense divisors comuns, llavors qualsevol element del DIP es pot escriure de la forma ax + by.

Els dominis d'ideals principals són noetherians, integralment tancats, són dominis de factorització única i finalment també són dominis de Dedekind. Qualsevol domini euclidià i qualsevol cos és un domini d'ideals principals.

Anells commutatiusdominis íntegresdominis integralment tancatsdominis de factorització únicadominis d'ideals principalsdominis euclidianscossos

Exemples[modifica | modifica el codi]

Alguns exemples de dominis d'ideals principals són:

  • K: qualsevol cos
  • ℤ: l'anell dels enters[1][2]
  • K[x]: l'anell dels polinomis en una variable a coeficients en un cos. (El recíproc també és cert: si A[x] és un DIP, llavors A és un cos.) Addicionalment, un anell de sèries formals de potències en una variable sobre un cos és un DIP, ja que qualsevol ideal és de la forma (x^k)
  • ℤ[i]: l'anell dels enters de Gauss[3][4]
  • ℤ[ω] (on ω és una arrel cúbica primitiva d'1): els enters d'Eisenstein

Alguns exemples de dominis d'integritat que no són DIP:

  • ℤ[x]: l'anell de tots els polinomis a coeficients enters. No és principal perquè l'ideal generat per 2 i X és un exemple d'un ideal que no es pot generar mitjançant un sol polinomi.
  • K[x,y]: L'ideal (x,y) no és principal.

Mòduls[modifica | modifica el codi]

El resultat crucial és el teorema d'estructura: Si R és un domini d'ideals principal, i M és un R-mòdul finitament generat, llavors M és suma directa de mòduls cíclics, és a dir, mòduls amb un sol generador. Els mòduls cíclics són isomorfs a R/xR per algun x\in R.[5]

Si M és un mòdul lliure sobre un domini d'ideals principals R, llavors tot submòdul de M també és lliure. En general, això no és cert per mòduls sobre anells arbitraris, com és el cas de l'exemple (2,X) \subseteq \Bbb{Z}[X] de mòduls sobre \Bbb{Z}[X].

Propietats[modifica | modifica el codi]

En un domini d'ideals principals, dos elements qualssevol a,b tenen un màxim comú divisor, que es pot obtenir com un generador de l'ideal (a,b).

Tots domini euclidià és un domini d'ideals principals, però el recíproc no és sempre cert. Un exemple de domini d'ideals principals que no és un domini euclidià és l'anell \Bbb{Z}\left[(1+\sqrt{-19})/2\right].[6][7] En aquest domini, no existeix cap parell q, r, amb 0≤|r|<4, tals que (1+\sqrt{-19})=(4)q+r, encara que 1+\sqrt{-19} i 4 tenen un màxim comú divisor de 2.

Tot domini d'ideals principals és un domini de factorització única (DFU).[8][9][10]

El recíproc no és cert, ja que per qualsevol DFU K, tenim que K[X,Y] és un DFU però no és un DIP (per demostrar-ho, observem l'ideal generat per \left\langle X,Y \right\rangle. No és l'anell sencer perquè no conté cap polinomi de grau 0, però no pot ser generat per un sol element).

  1. Tot domini d'ideals principals és noetherià.
  2. En qualsevol anell unitari, els ideals maximals són primers. En dominis d'ideals principals és cert un «quasi»-recíproc: tot ideal primer no-nul és maximal.
  3. Tot domini d'ideals principals és integralment tancat.

Aquestes tres propietats donen la definició d'un domini de Dedekind, i per tant tot domini d'ideals principals és un domini de Dedekind.

Sigui A un domini d'integritat. Llavors les següents propietats són equivalents:

  1. A és un DIP.
  2. Tot ideal primer de A és principal.[11]
  3. A és un domini de Dedekind que a més és un DFU.
  4. Tot ideal finitament generat de A és principal (és a dir, A és un domini de Bézout) i A satisfà la condició de cadena ascendent per ideals principals.
  5. A admet una norma de Dedekind–Hasse.[12]

(5) mostra que un domini euclidià és un DIP. (4) es pot comparar a:

  • Un domini d'integritat és un DFU si i només si té un domini de màxim comú divisor (és a dir, un domini on dos elements qualssevol tenen un màxim comú divisor) que satisfà la condició de cadena ascendent per ideals principals.

Un domini d'integritat és un domini de Bézout si i només si dos elements qualssevol tenen un mcd que sigui una combinació lineal dels dos. Per tant, un domini de Bézout és un domini de màxim comú divisor, i (4) proporciona una altra demostració de què un DIP és un DFU.

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Katz, John B. Fraleigh; historical notes by Victor. «Corol·lari del Teorema 1.7». A: A first course in abstract algebra. 5th ed.. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1994, p. 73. ISBN 0-201-53467-3. 
  2. Katz, John B. Fraleigh; historical notes by Victor. «Corol·lari del Teorema 7.2». A: A first course in abstract algebra. 5th ed.. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1994, p. 369. ISBN 0-201-53467-3. 
  3. Katz, John B. Fraleigh; historical notes by Victor. «Teorema 7.8». A: A first course in abstract algebra. 5th ed.. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1994, p. 385. ISBN 0-201-53467-3. 
  4. Katz, John B. Fraleigh; historical notes by Victor. «Teorema 7.4». A: A first course in abstract algebra. 5th ed.. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1994, p. 377. ISBN 0-201-53467-3. 
  5. Ribenboim, Paulo. «demostració del lema 2». A: Classical theory of algebraic numbers. 1. ed.. New York, NY [u.a.]: Springer, 2001, p. 113. ISBN 0-387-95070-2. 
  6. Wilson, Jack C.. «A Principal Ideal Ring That Is Not a Euclidean Ring» (en anglès). Mathematics Magazine, 46, 1, gener 1973, pàg. 34-38. ISSN: 0025570X [Consulta: 24 juliol 2013].
  7. George Bergman, A principal ideal domain that is not Euclidean - developed as a series of exercises Arxiu PostScript
  8. Jacobson, Nathan. «Teorema 2.23». A: Basic algebra. 2nd ed., Dover ed.. Mineola, N.Y.: Dover Publications, 2009, p. 148. ISBN 978-0-486-47189-1. 
  9. Katz, John B. Fraleigh; historical notes by Victor. «Teorema 7.2». A: A first course in abstract algebra. 5th ed.. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1994, p. 368. ISBN 0-201-53467-3. 
  10. Hazewinkel, Michiel; Gubareni,, Nadiya; Kirichenko, V.V.. «Teorema 7.2.1». A: Algebras, rings and modules. [Online-Ausg.]. Dordrecht: Kluwer, 2004, p. 166. ISBN 1-4020-2690-0. 
  11. T. Y. Lam and Manuel L. Reyes, A Prime Ideal Principle in Commutative Algebra
  12. Hazewinkel, Michiel; Gubareni,, Nadiya; Kirichenko, V.V.. «Proposició 7.3.3». A: Algebras, rings and modules. [Online-Ausg.]. Dordrecht: Kluwer, 2004, p. 170. ISBN 1-4020-2690-0. 

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]