Mòdul elàstic

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Pel mòdul d'elasticitat o mòdul de Young (de vegades anomenat simplement "mòdul elàstic") vegeu mòdul d'elasticitat.
El coneixement dels mòduls elàstics i la seva evolució en funció de la temperatura són necessaris per seleccionar el material més adequat

Un mòdul elàstic (o constant elàstica) és cadascun dels paràmetres físicament mesurables que caracteritzen el comportament elàstic d'un sòlid deformable elàstic. De vegades s'usa el terme mòdul elàstic per referir-se al mòdul d'elasticitat (també anomenat mòdul de Young), ja que és el mòdul elàstic més utilitzat.

Un sòlid elàstic lineal i isòtrop queda caracteritzat amb només dos mòduls elàstics. Encara que existeixen diverses possibles eleccions d'aquest parell de mòduls, les més freqüents en enginyeria estructural són el mòdul d'elasticitat i el coeficient de Poisson; d'altres constants són el mòdul de cisallament, el mòdul de compressibilitat i els coeficients de Lamé.

Un mòdul elàstic es defineix de la següent manera:

\lambda \ \stackrel{\text{def}}{=}\ \frac {\text{tensió}} {\text{deformació}}

On λ és el mòdul elàstic (en pascals), la tensió (en pascals) és la força dividida per l'àrea on s'aplica, i la deformació és la proporció de canvi de dimensió de l'element (adimensional).

Materials elàstics isòtrops[modifica | modifica el codi]

En els materials elàstics homogenis i isòtrops són els que presenten el mateix comportament mecànic per a qualsevol direcció d'estirament al voltant d'un punt. Per exemple, donat un ortoedre d'un material homogeni i isòtrop, el mòdul d'elasticitat i el coeficient de Poisson són els mateixos, amb independència de sobre quin parell de cares oposades s'exerceixi un estirament.

Degut a aquesta propietat es pot provar que el comportament d'un material elàstic homogeni isòtrop queda caracteritzat per només dues constants elàstiques. En diversos camps són comunes les següents eleccions de les constants:

Es té, doncs, un total de sis constants elàstiques comunament utilitzades: L , ν, K , G , λ i μ. Dues qualsevol d'elles caracteritzen completament el comportament elàstic, és a dir, qualsevol paràmetre elàstic d'un material es pot expressar com a funció de dos qualssevol paràmetres anteriors. Òbviament, tots aquests parells de constants elàstics estan relacionats, com es resumeix en la següent taula:

Relacions entre constants elàstiques per un material isòtrop lineal
E\,: mòdul d'elasticitat
\nu\,: coeficient de Poisson
K\,: mòdul de compressibilitat
G\,: mòdul de cisallament
\lambda\,: 1r coeficient de Lamé
\mu\,: 2n coeficient de Lamé
(E,\nu)\, -- K =\frac{E}{3 (1-2\nu)}
G =\frac{E}{2 (1+\nu)}
\lambda =\frac{\nu E}{(1+\nu) (1-2\nu)}
\mu =\frac{E}{2 (1+\nu)}
(K, G)\, E =\frac{9K (K-2G)}{3K+G}
\nu =\frac{1}{2}\frac{3K-2G}{3K+G}
-- \lambda = K-\frac{2G}{3}
\mu = G\,
(\Lambda,\mu)\, E =\frac{\mu (3\lambda+2\mu)}{\lambda+\mu}
\nu =\frac{\lambda}{2 (\lambda+\mu)}
K =\lambda+\frac{2\mu}{3}
G =\mu\,
--

Expressades en termes del mòdul de Young i el coeficient de Poisson, les equacions constitutives són:


\begin{pmatrix}
\varepsilon_{XX}\\
 \varepsilon_{ii}\\
 \varepsilon_{zz}\\
 \varepsilon_{xy}\\
 \varepsilon_{xz}\\
 \varepsilon_{yz}
\end{pmatrix}
 =
\begin{pmatrix}
 \frac{1}{E}& -\frac{\nu}{E}& -\frac{\nu}{E}& & &\\
 -\frac{\nu}{E}&\frac{1}{E}& -\frac{\nu}{E}& & &\\
 -\frac{\nu}{E}& -\frac{\nu}{E}&\frac{1}{e}\\
 & & &\frac{2 (1+\nu)}{E}& 0 & 0\\
 & & & 0 &\frac{2 (1+\nu)}{E}& 0\\
 & & & 0 & 0 &\frac{2 (1+\nu)}{e}\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 \sigma_{XX}\\
 \sigma_{ii}\\
 \sigma_{zz}\\
 \sigma_{xy}\\
 \sigma_{xz}\\
 \sigma_{yz}
\end{pmatrix}


Les relacions inverses estan donades per:


\begin{pmatrix}
 \sigma_{XX}\\
 \sigma_{ii}\\
 \sigma_{zz}\\
 \sigma_{xy}\\
 \sigma_{xz}\\
 \sigma_{yz}
\end{pmatrix}
 =
\frac{E}{1+\nu}
\begin{pmatrix}
 1+\alpha &\alpha &\alpha & & &\\
 \alpha & 1+\alpha &\alpha & & &\\
 \alpha &\alpha & 1+\alpha & & &\\
 & & &\frac{1}{2}& 0 & 0\\
 & & & 0 &\frac{1}{2}& 0\\
 & & & 0 & 0 &\frac{1}{2}\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 \varepsilon_{XX}\\
 \varepsilon_{ii}\\
 \varepsilon_{zz}\\
 \varepsilon_{xy}\\
 \varepsilon_{xz}\\
 \varepsilon_{yz}
\end{pmatrix}

On \alpha: =\frac{\nu}{1/2\nu}

Materials elàstics ortotròpics[modifica | modifica el codi]

Alguns materials elàstics són anisòtrops, la qual cosa significa que el seu comportament elàstic, concretament la relació entre tensions aplicades i deformacions unitàries, és diferent per a diferents direccions. Una forma comuna de anisotropia és la que presenten els materials elàstics ortotròpics en què el comportament elàstic queda caracteritzat per una sèrie de constants elàstiques associades a tres direccions mútuament perpendiculars. L'exemple més conegut de material ortotròpic és la fusta, que presenta diferent mòdul d'elasticitat al llarg de la fibra, tangencialment als anells de creixement i perpendicularment als anells de creixement.

El comportament elàstic d'un material ortotròpic queda caracteritzat per nou constants independents: 3 mòduls d'elasticitat longitudinal (Nx, Ei, Ez ), 3 mòduls de rigidesa (Gxi, Giz, Gxz) i 3 coeficients de Poisson (νxy, νyz, νxz). De fet, per a un material ortotròpic, la relació entre les components del tensor de tensions i les components del tensor de deformació ve donada per:


\begin{pmatrix}
 \varepsilon_{XX}\\
 \varepsilon_{ii}\\
 \varepsilon_{zz}\\
 \varepsilon_{xy}\\
 \varepsilon_{xz}\\
 \varepsilon_{yz}
\end{pmatrix}
 =
\begin{pmatrix}
 \frac{1}{E_x}& -\frac{\nu_{ix}}{E_y}& -\frac{\nu_{zx}}{E_z}& & &\\
 -\frac{\nu_{xy}}{E_x}&\frac{1}{E_y}& -\frac{\nu_{zi}}{E_z}& & &\\
 -\frac{\nu_{xz}}{E_x}& -\frac{\nu_{iz}}{E_y}&\frac{1}{E_z}\\
 & & &\frac{1}{2G_{xi}}& 0 & 0\\
 & & & 0 &\frac{1}{2G_{xz}}& 0\\
 & & & 0 & 0 &\frac{1}{2G_{iz}}\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 \sigma_{XX}\\
 \sigma_{ii}\\
 \sigma_{zz}\\
 \sigma_{xy}\\
 \sigma_{xz}\\
 \sigma_{yz}
\end{pmatrix}


On: \frac{\nu_{ix}}{E_y}=\frac{\nu_{xy}}{E_x}\qquad
\frac{\nu_{zx}}{E_z}=\frac{\nu_{xz}}{E_x}\qquad
\frac{\nu_{iz}}{E_y}=\frac{\nu_{zi}}{E_z}\qquad (*)

Com es pot veure, les components que governen l'allargament i les que governen la distorsió estan desacoblades, la qual cosa significa que en general és possible produir allargaments al voltant d'un punt sense provocar distorsions i viceversa. Les equacions inverses que donen les deformacions en funció de les tensions prenen una forma una mica més complicada:


\begin{pmatrix}
 \sigma_{XX}\\
 \sigma_{ii}\\
 \sigma_{zz}\\
 \sigma_{xy}\\
 \sigma_{xz}\\
 \sigma_{yz}
\end{pmatrix}
 =
\begin{pmatrix}
 \frac{1 -\nu_{iz}\nu_{iz}}{E_y E_z\Delta}&\frac{\nu_{ix}+\nu_{iz}\nu_{zx}}{E_y E_z\Delta}&\frac{\nu_{zx}+\nu_{zi}\nu_{ix}}{E_y E_z\Delta}& & &\\
 \frac{\nu_{xy}+\nu_{xz}\nu_{zi}}{E_x E_z\Delta}&\frac{1 -\nu_{zx}\nu_{xz}}{E_x E_z\Delta}&\frac{\nu_{zi}+\nu_{zx}\nu_{xy}}{E_x E_z\Delta}& & &\\
 \frac{\nu_{xz}+\nu_{xy}\nu_{iz}}{E_x E_y\Delta}&\frac{\nu_{iz}+\nu_{ix}\nu_{xz}}{E_x E_y\Delta}&\frac{1 -\nu_{xy}\nu_{ix}}{E_x E_y\Delta}\\
 & & & 2G_{xi}& 0 & 0\\
 & & & 0 & 2G_{xz}& 0\\
 & & & 0 & 0 & 2G_{iz}\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 \varepsilon_{XX}\\
 \varepsilon_{ii}\\
 \varepsilon_{zz}\\
 \varepsilon_{xy}\\
 \varepsilon_{xz}\\
 \varepsilon_{yz}
\end{pmatrix}

On:
\Delta: =\frac{1 -\nu_{xy}\nu_{ix}-\nu_{xz}\nu_{zx}-\nu_{iz}\nu_{zi}-2\nu_{xy}\nu_{iz}\nu_{zx}}{E_x E_y E_z}

De fet, la matriu anterior, que representa el tensor de rigidesa, és simètrica.


\frac{\nu_{ix}+\nu_{iz}\nu_{zx}}{E_y E_z\Delta}=\frac{\nu_{xy}+\nu_{xz}\nu_{zi}}{E_x E_z\Delta}\qquad
\frac{\nu_{zx}+\nu_{zi}\nu_{ix}}{E_y E_z\Delta}=\frac{\nu_{xz}+\nu_{xy}\nu_{iz}}{E_x E_y\Delta}\qquad
\frac{\nu_{zi}+\nu_{zx}\nu_{xy}}{E_x E_z\Delta}=\frac{\nu_{iz}+\nu_{ix}\nu_{xz}}{E_x E_y\Delta}

Materials transversalment isòtrops[modifica | modifica el codi]

Un cas particular de material ortotròpic és el dels materials transversalment isòtrops en què hi ha una direcció preferent o longitudinal i totes les seccions perpendiculars a la mateixa són mecànicament equivalents. Així, en qualsevol secció transversal a la direcció diferent hi haurà isotropia i el nombre de constants elàstiques independents necessàries per caracteritzar aquest material serà de 5 i no de 9, com en el cas d'un material ortotròpic general. Les cinc constants independents seran, de fet: 2 mòduls d'elasticitat longitudinal (NL, Et), 1 mòdul de rigidesa (Gt ) i 2 coeficients de Poisson (νL, νLt). Aquestes constants es relacionen amb les altres constants generals d'un material ortotròpic mitjançant aquestes relacions:

\begin{cases}E_y = E_L & E_x = E_z = E_t\\
G_{xz}=\cfrac{E_t}{2 (1+\nu_t)}& G_{zi}= G_{xi}= G_t\\
\nu_{iz}=\nu_{zi}=\nu_t &\nu_{xz}=\nu_{zi}=\nu_{tl}\end{cases}

Tensor de constants elàstiques[modifica | modifica el codi]

Per cossos elàstics lineals anisòtrops més generals, les relacions entre tensió i deformacions poden seguir expressant-se mitjançant un tensor de constants elàstiques o tensor de rigidesa, donat per:


\sigma_{ij}=\sum_{k, l}C_{IJKL}\,\varepsilon_{kl}

En tres dimensions, com que cada un dels índexs i, j, k i l pot tenir 3 valors diferents ( x, y o z ), existeixen 3 4 components del tensor CIJKL. Tanmateix, de la simetria de les components de tensió i deformació s'han de complir les següents relacions entre components:

C_{IJKL}= C_{jikl}\, (a causa de la simetria del tensor de tensió)
C_{IJKL}= C_{ijlk}\, (a causa de la simetria del tensor de deformació)
C_{IJKL}= C_{klij}\, (pel fet que l'energia elàstica està donada per una forma quadràtica)

Així dels 3x3 = 9 components dels tensors de tensió i deformació només existeixen (3²+3)/2 = 6 valors diferents. A partir d'això es dedueix que el tensor de constants elàstiques només pot tenir (6²+6)/2 = 21 components diferents com a màxim. Aquestes 21 components poden escriure en forma matricial de la manera següent:



\begin{pmatrix}
 \sigma_{XX}\\
 \sigma_{ii}\\
 \sigma_{zz}\\
 \sigma_{xy}\\
 \sigma_{xz}\\
 \sigma_{yz}
\end{pmatrix}
 =
\begin{pmatrix}
 C_{xxxx}& C_{xxyy}& C_{xxzz}& C_{xxxy}& C_{xxxz}& C_{xxyz}\\
 C_{yyxx}& C_{aaaa}& C_{yyzz}& C_{yyxy}& C_{yyxz}& C_{yyyz}\\
 C_{zzxx}& C_{zzyy}& C_{zzzz}& C_{zzxy}& C_{zzxz}& C_{zzyz}\\
 C_{xyxx}& C_{xyyy}& C_{xyzz}& C_{xyxy}& C_{xyxz}& C_{xyyz}\\
 C_{xzxx}& C_{xzyy}& C_{xzzz}& C_{xzxy}& C_{xzxz}& C_{xzyz}\\
 C_{yzxx}& C_{yzyy}& C_{yzzz}& C_{yzxy}& C_{yzxz}& C_{yzyz}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 \varepsilon_{XX}\\
 \varepsilon_{ii}\\
 \varepsilon_{zz}\\
 \varepsilon_{xy}\\
 \varepsilon_{xz}\\
 \varepsilon_{yz}
\end{pmatrix}

Components tensorials del tensor isòtrop[modifica | modifica el codi]

Les relacions anteriors s'han escrit sempre en forma de matriu, però per als diferents tipus de sòlids és possible escriure també les components tensorials explícites. Per a un sòlid isòtrop el tensor de constants elàstiques en coordenades cartesianes ve donat per:


C_{IJKL}=\lambda\delta_{ij}\delta_{kl}+\mu (\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk})\,

En un sistema de coordenades curvilínies (esfèriques, cilíndriques, etc.) més general, el tensor anterior és simplement:


C_{IJKL}=\lambda G_{ij}G_{kl}+\mu (G_{ik}G_{jl}+G_{il}G_{jk})\,

On G_{ij}\, és el tensor mètric associat a les coordenades curvilínies corresponents.

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

Vegeu també[modifica | modifica el codi]